许昌市五校联考高二期末考试

数学试卷（文科）

考
试时间：120分钟 分值：150分

第I卷

一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）

1. 在△ABC中，
，
，
，则边
的长为 （ ）

A．
B．
C．
D．

2．命题“所有自然数的平方都是正数”的否定为 ( )

A. 所有自然数的平方都不是正数 B. 有的自然数的平方是正数

C. 至少有一个自然数的平方是正数 D. 至少有一个自然数的平方不是正数

3．若等比数列
的前
项和
则
等于 （ ）

A.

B.
C. -1 D. 1

4.“－3＜m＜5”是“方程＋＝1表示椭圆”的
( 　　)．

A.充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5. 等差数列
中，若
，则
等于 （ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

6. 曲线
在点
处的切线方程为
（ ）

A.
B.

C.
D.

7. 设变量
满足约束条件
则目标函数
的最大值为（　　 ）

A．14 B．11 C．12 D．10

8. 设P是双曲线
上一点，该双曲线的一条渐近线方程是
，

分别是双曲线的左、右焦点，若
，则
等于 ( 　 )

A．2 B．18 C．2或18 D．16

9. 设函数
的图象上的点
处的切线的斜率为k，若
，

则函数
的图象
大致为 （ ）

10.已知直线

与抛物线
相交于
两点，F为抛物

线的焦点，若
，则k的值为 （ ）

A.
B.
C.
D.

11.已知函数
的图像在点A(1，f(1))处的切线
与直线
平行，

若数列
的前
项和为
，则
的值为 （ ）

A.
B.
C.
D.

12.已知函数
，关于
的方程
有四个不等实数根，则

的取值范围为 （ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）

13.与双曲线
有共同渐近线，且过点
的双曲线方程是 。

14.有一长为100米的斜坡，它的倾斜角为45°，现要把其倾斜角改为30°，而坡高不

变，则坡长需伸长_____________米.

15.已知中心在原点的双曲线的顶点与焦点分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点与顶点，

若双曲线的离心率为2，则椭圆离心率为________

16.下列结论中 ①函数
有最大值
②函数
（
）

有最大值
③若
，则
正确的序号是_____________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分． 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）．

17.（本小题满分10分）

设函数
,其中
.

（Ⅰ）当
时，求不等式
的解集；

（Ⅱ）若不等式
的解集为
，求
的值.

18．（本小题满分12分）

已知
、
、
为
的三内角，且其对边分别为
、
、

，

若
．

（Ⅰ）求角
的大小；

（Ⅱ）若
，求
的面积．

19. （本小题满分12分）

已知命题
：方程
表示焦点在y轴上的椭圆；[来源:Zxxk.Com]

命
题
：双曲线
的离心率
，若
或
为真命题，
且
为假命

题，求实数
的取值范围.

20.（本小题满分12分）

已知
是等差数列，前n项和是
，且
，
，

（1）求数列
的通项公式；

（2）令
=
·2n，求数列
的前n项和

21．（本小题满分12分）

已知动点P与平
面上两定点
连线的斜率的积为定值
.

（1）试求动点P的轨迹方
程C.

（2）设直线
与曲线C交于M、N两点，当|MN|=
时，求直线l的方程.

22．（本小题满分12分）

定义在R上的函数
同时满足以下条件：

①f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；[来源:学科网]

②
是偶函数；

③f(x)在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直．

(1)求函数y＝f(x)的解析式；

(2)设g(x)＝
，若存在实数x∈[1，e]，使g(x)<
，求实数m的取值范围。

 2013—2014学年许昌市三校高二（上）期末考试

数学（文科）答案

选择题

题

号



1



2



3



4



5



6



7



8



9



10



11



12



答

案



B



D



A



B



C



C



B



C



A



D



D



D





二、填空题：

13.
14. 100(－1) 15.
16.①③

三、解答题

17.（本小题满分10分）

解：（1）当
时，
可化为
，

由此可得：
，[来源:Zxxk.Com]

故不等式的解集为

----------4分

（2）由
得

此不等
式可化为不等式组
或

即
或

因为
，所以不等式的解集为
----------8分

所以
，故
。 -----------10分

18、（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）
　　

又
，

，
． --------------- 6分

（Ⅱ）由余弦定理
　　

　得

即：
，

-------------12分

19、（本小题满分12分）

解：若p为真命题则

所以
； --------------2分

若q为真命题则
且

所以
--------------4分

（1）若
则 无解 ………………8分

（2）若
则
＜15 [来源:学科网]

故m的取值范围为
＜15 ………………………………12分

20. （本小题满分12分）

解：（1）

解得
----------4分

（2）
[来源:学|科|网Z|X|X|K]

①

② --------6分

①-②
------------8分

所以：
------------12分

（本小题满分12分）

22、（本小题满分12分）

解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵f(x
)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，

∴f′(1)＝3a＋2b＋c＝0 ①

由f′(x)是偶函数得：b＝0
②

又f(x)在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直，f′(0)＝c＝－1 ③

由①②③得：a＝，b＝0，c＝－1，即f(x)＝x3－x＋3. ……………4分

(2)由已知得：存在实数x∈[1，e]，使lnx－

即存在x∈[1，e]，使m>xlnx－x3＋x …………………………6分

设M(x)＝xlnx－x3＋x　x∈[1，e]，则M′(x)＝lnx－3x2＋2……………8分

设H(x)＝lnx－3x2＋2，则H′(x)＝－6x＝ ……………10分

∴M(x)在[1，e]上递减，

∵x∈[1，e]，∴H′(x)<0，即H(x)在[1，e]上递减

于是，H(x)≤H(1)，即H(x)≤－1<0，即M′(x)<0

∴M(x)≥M(e)＝2e－e3

于是有m>2e－e3为所求． ……………12分