湖北省孝感高级中学2013—2014学年度高中二年级上学期期末考试

数学（理）

命题人：姚继元 满分：150分 考试用时：120分钟

一、选择题（本大题共10小题．每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）.

1．“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的

A．充分且必要条件 B．必要非充分条件

C．充分非必要条件 D．既不充分也不必要条件

2．某研究型学习课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为

A．6 B．8 C．10 D．12

3．函数y＝f（x）在定义域（－，3）内的图像如图所示．记y＝f（x）的导函数为y＝f(（x），则不等式f(（x）≤0的解集为

A．[－，1]∪[2，3）

B．[－1，]∪[，]

C．[－，]∪[1，2）

D．（－，－]∪[，]∪[，3）

4．如图甲是某条公共汽车线路收支差额与乘客量的图象（收支差额=车票收入—支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）是不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）是不改变支出费用，提高车票价格.下面给出四个图象：在这些图象中

A．①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）

B．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）

C．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）

D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）

5．抛物线
上的一点M到焦点的距离为1，则点M到y轴的距离是

A． B．

C．1 D．

6．执行如图所示的程序框图，输出的s值为

A．－3 B．－

C. 2 D．

7．若
,则事件A,B的关系是

A．互斥不对立 B．对立不互斥

C．互斥且对立 D．以上答案都不对

8．某四面体的三视图如右图所示，该四面体四个面的面积中最大的是

A．
B．8

C．10 D．12

9．已知

为
的导函数，则
的图像是

10．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含
个小正方形．则
等于

A．761 B．762 C．841 D．842

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.

11．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元 ，则11时至12时的销售额为___________万元．

12．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，若它落在阴影区域内的概率为
，则阴影区域的面积为 .

13．设函数f(x)＝x3＋x2，其中θ∈
，则导数f ′(1)的取值范围是_______.

14．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6，0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线－＝1的左支上，则＝________．

15．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各个选项中，一定符合上述指标的是_______.

①平均数
； ②标准差
； ③平均数
且标准差
；

④平均数
且极差小于或等于2； ⑤众数等于1且极差小于或等于4。

三、解答题（本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

16．设命题p：(4x－3)2≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若
是
的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

17．一矩形铁皮的长为8 cm，宽为5 cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？

18．某市准备从5名报名者（其中男3人，女2人）中选2人参加两个副局长职务竞选。

（1）求所选2人均为女副局长的概率；

（2）若选派两个副局长依次到A、B两个局上任，求A局是男副局长的情况下，B局是女副局长的概率。

19．如图，在直三棱柱
（侧棱和底面垂直的棱柱）中，
，
,
，且满足
.

（1）求证：平面
侧面
；

（2）求二面角
的平面角的余弦值。

20．已知椭圆
:

的离心率
,原点到过点
,
的直线的距离是
.

（1）求椭圆
的方程；

（2）若椭圆
上一动点
关于直线
的对称点为
,求
的取值范围；

（3）如果直线
交椭圆
于不同的两点, ,且,都在以为圆心的圆上,求
的值.

21．已知函数

（1）当
时，求
的最小值；

（2）在区间（1,2）内任取两个实数p，q，且p≠q,若不等式
>1恒成立，求实数a的取值范围；

（3）求证：
（其中
）。

高二上学期期末考试理科数学参考答案

一、选择题

CBABD CDCAA

二、填空题

11. 10 12.
13.
14.
15.④⑤

解答题

16.解:设A＝{x|(4x－3)2≤1}，

B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}，

易知A＝{x|≤x≤1}，B＝{x|a≤x≤a＋1}． …………(6分)

由
是
的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即A是B的真子集，

∴ …………(10分)

故所求实数a的取值范围是[0，]． …………(12分)

17.解：设小正方形的边长为 cm，则盒子底面长为（
）cm，宽为（
）cm,

,
……………4分

，在定义域内仅有一个极大值，

……………10分即小正方形边长为1cm时，盒子容积最大为
…………12分

18.(1)解：(1)基本事件总数N=10，满足要求的基本事件个数为n=1，

故所有概率为
……………6分

记D=“A局是男副局长”，E=“B局是女副局长”，

则
……………12分

（1）证明：

又

…………………………4分

（2）由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分

别为x轴、y轴、z轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，

B(0,0,0), A(0,3,0), C(3，0，0) ,

又由
，

满足
，

所以E(1，2，0), F(0，1，1) …………………6分

…………………8分

此时
,设所求二面角平面角为
，

则
。 …………………12分

20.(Ⅰ)因为
,
,所以
.

因为原点到直线
:
的距离
,解得
,
.

故所求椭圆
的方程为
. ……………………4分

(Ⅱ)因为点
关于直线
的对称点为
,

所以
解得
,
.

所以
.

因为点
在椭圆
:
上,所以
.

因为
, 所以
.所以
的取值范围为
. …8分

(Ⅲ)由题意
消去,整理得
.可知
.

设
,
,
的中点是
,

则
,
.

所以
. 所以
.

即
. 又因为
,

所以
.

所以
………………13分

解：（1）

得

上递减，
上递增。

。 ………………4分

（2）
，

表示点
与点
连成的斜率，又
，

，即函数图象在区间（2，3）任意两点连线的斜率大于1，

即
内恒成立. …………………………6分

所以，当
恒成立.

设

若

当
上单调递减；

当
上单调递增. ……………………9分

又

故
……………………10分

（3）由（2）得，

………………11分

所以

又

而

成立. …………………14分