湖北省部分重点中学2013—2014学年度上学期高二期末考试

数 学 试 卷（文科）

命题人：武汉中学 杨银舟 审题人：洪山高中 高珺

2014.1.16

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．如图是“集合”的知识结构图,如果要加入“子集”,则应该放在( )

A.“集合的概念”的下位 B.“集合的表示”的下位

C.“基本关系”的下位 D.“基本运算”的下位

2．已知
，则
=

A．
B．
C．
D．

3．为了考察两个变量和之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做100次和150次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为
和
，已知两人在试验中发现对变量的观测数据的平均值都是，对变量的观测数据的平均值都是，那么下列说法正确的是（ ）

A．
和
有交点
B．
与
相交，但交点不一定是

C．
与
必定平行 D．
与
必定重合

4．在研究打酣与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“打酣与患心脏病有关”的结论，并且有
以上的把握认为这个结论是成立的。下列说法中正确的是（ ）

A．100个心脏病患者中至少有99人打酣

B．．1个人患心脏病，那么这个人有99%的概率打酣

C．在100个心脏病患者中一定有打酣的人

D．在100个心脏病患者中可能一个打酣的人都没有

5．设
，则
是
的（ ）

A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．命题
若
，则
是
的充分而不必要条件；

命题
函数
的定义域是
，则（ ）

A．“或”为假 B．“且”为真 C．真假 D．假真

7．过椭圆
右焦点且斜率为1的直线被椭圆截得的弦MN的长为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．过双曲线的一个焦点
作垂直于实轴的弦
，
是另一焦点，若
是钝角三角形，则双曲线的离心率范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．右图1是一个水平摆放的小正方体木块，

图2、图3是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续逐个叠放下去，那么在第七个叠放的图形中小正方体木块数应是(　　)

A．25 B．66 C．91 D．120

10．我们把离心率为e＝的双曲线

(a>0，b>0)称为黄金双曲线．如图，
是双曲线

的实轴顶点，
是虚轴的顶点，
是左右焦点，

在双曲线上且过右焦点
，并且
轴，

给出以下几个说法：

①双曲线x2－
＝1是黄金双曲线；

②若b2＝ac，则该双曲线是黄金双曲线；

③如图，若∠F1B1A2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；

④如图，若∠MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．

其中正确的是(　　)

A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

11. 若命题p：?x ,y∈R，x2+y2－1＞0，则该命题p的否定是 ．

12．在复平面内，复数
（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于第 象限．

13．椭圆
的焦点
、
，点为其上的动点，当∠

为钝角时,点横坐标的取值范围是 ．

14．已知
，分别求
，
，
，然后归纳猜想一般性结论
．

15．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染指数量
与时间h间的关系为
．如果在前5个小时消除了10
的污染物，则10小时后还剩__________
的污染物．

16．甲乙两个班级均为40人，进行一门考试后，按学生考试成绩及格与不及格进行统计，甲班及格人数为36人，乙班及格人数为24人. 根据以上数据建立一个
的列联表如下：

不及格

及格

总计



甲班

a

b





乙班

c

d





总计









参考公式：
；

P(K2>k)

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



 k

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.84

5.024

6.635

7.879

10.83



根据以上信息，在答题卡上填写以上表格，通过计算对照参考数据，有_____的把握认为“成绩与班级有关系” ．

17．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)．若双曲线上存在点P，使＝，则该双曲线的离心率的取值范围是________．

三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本小题满分12分）

已知
；
，若
是
的必

要非充分条件，求实数的取值范围．

19．（本小题满分13分）

下面的(a)、(b)、(c)、(d)为四个平面图．(1)数一数，每个平面图各有多少个顶点？多少条边？它们分别围成了多少个区域？请将结果填入下表(按填好的例子做)．

顶点数

边数

区域数



(a)

4

6

3



(b)









(c)









(d)









(2)观察上表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？

(3)现已知某个平面图有2014个顶点，且围成了2014个区域，试根据以上关系确定这个平面图的边数．

20．（本小题满分13分）

平面内与两定点
、
（
）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上
、
两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线．求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值得关系．

21．（本小题满分13分）

若
，且
，求证：

22．（本小题满分14分）

已知椭圆
的中心在坐标原点，焦点在轴上且过点
，离心率是
．

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）直线
过点
且与椭圆
交于，两点，若
，求直线
的方程.

湖北省部分重点中学2013—2014学年度上学期高二期末考试

数学（文科）试题参考答案及评分标准

一、选择题

1．C 2．B 3．A 4．D 5．C

6．D 7．A 8．C 9．C 10．D

二、填空题

11．?x∈R，x2+y2－1≤0 12．四（或者4，Ⅳ） 13．

14．
15．

三、解答题

16．（本小题满分12分）

解析：
，所以
，

令
………………………4分

，即
，

令
………………………8分

是
的必要非充分条件，

，即
．……………………12分

当
即
成立，当
，即
成立，所以
……12分

17．（本小题满分12分）

解析：

不及格

及格

总计



甲班

4

36

40



乙班

16

24

40



总计

20

60

80



………………………………6分

（2）

由此可得：
，

所以有99.5%的把握认为“成绩与班级有关系”. …………12分

18．（本小题满分12分）

解析：(1)填表如下：

顶点数

边数

区域数



(a)

4

6

3



(b)

8

12

5



(c)

6

9

4



(d)

10

15

6



………………………………4分

(2)由上表可以看出，所给的四个平面图的顶点数、边数及区域数之间有下述关系：

4＋3－6＝1；8＋5－12＝1；6＋4－9＝1；10＋6－15＝1

由此，我们可以推断：任何平面图的顶点数、边数及区域数之间，都有下述关系：

顶点数＋区域数－边数＝1. ………………………………8分

(3)由(2)中所得出的关系，可知所求平面图的边数为：

边数＝顶点数＋区域数－1＝2014＋2014－1＝4027. …………12分

19．（本小题满分13分）

解析：设动点为M，其坐标为
，

当
时，由条件可得

即

， 又
的坐标满足

，故依题意，曲线C的方程为
．………4分

当
时，曲线C的方程为
，

C是焦点在y轴上的椭圆； ……………………6分

当
时，曲线C的方程为
，

C是圆心在原点的圆； ……………………8分

当
时，曲线C的方程为
，

C是焦点在x轴上的椭圆； …………………10分

当
时，曲线C的方程为
，

C是焦点在x轴上的双曲线． ……………………12分

20．（本小题满分13分）

若
且
，求证：

【证明】要证
，只需证

即
，因
，

只需证
即
， ………………6分

因为
，则

………………10分

因为
，所以
，

从而

所以
． ………………13分

22．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）设椭圆
的方程为

.

由已知可得
………………………………3分

解得
，
.

故椭圆
的方程为
．…………………………………………6分

（Ⅱ）由已知，若直线
的斜率不存在，则过点
的直线
的方程为
，

此时
，显然
不成立．……………7分

若直线
的斜率存在，则设直线
的方程为
．

则

整理得
．………………………………9分

由

．

设
．

故
，①
． ②…………………10分

因为
，即
．③

①②③联立解得
． ……………………13分

所以直线
的方程为
和
．………14分