高二年级（上）第四次月考测试卷

数学试卷参考答案(理科)

1．D　焦点在x轴上，所以方程变为－＝1，a2＝6，b2＝m－1，所以6＋m－1＝9，解得m＝4.

2．B　∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题；綈p：?x∈R，log2(3x＋1)>0.

3．C　∵Tr＋1＝C(2x)4－rx，∴
＝x3，解得r＝2.∴T3＝C·22＝24.

4．A　∵a∥b，∴x＝2y＝，∴x＝，y＝，∴xy＝.

5．A　依题意知，＝＝1.7，＝＝0.4，而直线＝－3＋x一定经过点(，)，所以－3＋×1.7＝0.4，解得＝2.

6．C　P(X＞4)＝0.5－P(2≤X≤4)＝0.5－0.3413＝0.1587.

7．B　若方程＋ny2＝1，即＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则有＞＞0，即m＞2n＞0?m＞n＞0，故选B.

8.D　若f(x)＝x2－2ax＋a＋2＝(x－a)2－a2＋a＋2没有零点，则－a2＋a＋2＞0，解得－1＜a＜2，则函数y＝f(x)有零点的概率P＝1－＝.

9．D　S＝0，i＝1→S＝1，i＝2→S＝－1，i＝3→S＝2，i＝4→S＝－2，i＝5→S＝3，i＝6→S＝－3，i＝7→S＝4，i＝8→S＝－4，i＝9→S＝5，i＝10→S＝－5，i＝11.

10．C　C()2C(1－q)2＋C()2(1－q2)＝，解得q＝.

11．B　由于1＋4＝2＋3＝5，故中间行的数字应该是1，4或2，3两组中的一组，且另一组中的两个数字不能同时出现在第一或第三行，不同的排法为C·A(A－C·A·A)＝1248种．

12．D　由题意知，抛物线的准线l为y＝－1，过A作AA1⊥l于A1，过B作BB1⊥l于B1，设弦AB的中点为M，过M作MM1⊥l于M1，则|MM1|＝，|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，即|AA1|＋|BB1|≥6，即2|MM1|≥6，∴|MM1|≥3，即M到x轴的距离d≥2，故选D.

13.1或－3　令x＝1，得(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6，因为a0＝C＝1，所以(1＋m)6＝64，所以m＝1或－3.

14．2　∵由题可知样本的平均值为1，∴＝1，解得a＝－1，

∴样本的方差为[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.

15.＋y2＝1　直线2x＋y－4＝0与x轴、y轴的交点分别为(2，0)、(0，4)，则c＝2，|F2N|＝2，

∵|MN|＝|MF1|，∴|MF2|＋|MF1|＝|F2N|＝2 a，即a＝，∴椭圆E的方程为＋y2＝1.

16.　由题意得化简得解得所以红球个数为6－4＝2，设事件A＝{第1次摸到红球}，B＝{第2次摸到红球}，则P(AB)＝＝，P(A)＝，∴P(B|A)＝＝.

17．解：(1)由[10，15)内的频数是10，频率是0.25知，＝0.25，

所以M＝40.

因为频数之和为40，所以10＋25＋m＋2＝40，m＝3.

p＝＝＝0.075.

因为a是对应分组[15，20)的频率与组距的商，所以a＝＝0.125.(5分)

(2)因为该校高一学生有360人，分组[10，15)内的频率是0.25，

所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为90人．(10分)

18．解：由已知得C－C＝27，化简得n2－3n－54＝0.

解得n＝9或n＝－6(舍)．(4分)

(1)Tr＋1＝C(2x)9－rx－2r＝C29－rx9－3r.

令9－3r＝0，得r＝3，∴T4＝C26＝5376，

故展开式的常数项为5376.(8分)

(2)若设第r＋1项的系数最大，则

解得≤r≤，

∵r∈Z，∴r＝3，∴T4＝5376为系数最大的项．(12分)

19．解：(1)甲班有4人及格，乙班有5人及格．

事件“从甲、乙两班的10名同学中各抽取一人，有人及格”记作A，

事件“从甲、乙两班的10名同学中各抽取一人，乙班同学不及格”记作B，

则P(B|A)＝＝＝.(6分)

(2)X取值为0，1，2，3，

P(X＝0)＝·＝，P(X＝1)＝·＋·＝，

P(X＝2)＝·＋·＝，P(X＝3)＝·＝.(10分)

所以X的分布列为

X

0

1

2

3



P(X)











所以E(X)＝＝.(12分)

20．解：(1)因为从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为，所以优秀人数为105×＝30人，所以乙班优秀人数为20人，甲班非优秀的人数则为45人．所以列联表补全如下：

优秀

非优秀

合计



甲班

10

45

55



乙班

20

30

50



合计

30

75

105



(6分)

(2)根据列联表中的数据，得到

k＝≈6.109＞3.841，

因此能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩与班级有关系”.(12分)

21．解:如图，以B为原点，分别以BC、BA、BP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则B(0，0，0)，C(2，0，0)，A(0，1，0)，D(1，1，0)，P(0，0，1)，又DE＝2PE，

∴E(，，).(2分)

(1)解：∵＝(0，1，－1)，＝(－1，1，0)，

∴cos〈，〉＝＝＝.4分

∴异面直线PA与CD所成的角为60°.(5分)

(2)证明：∵＝(，，)，＝(1，1，－1)，＝(2，0，－1)，

∴·＝×1＋×1＋×(－1)＝0，

·＝×2＋×0＋×(－1)＝0.

∴BE⊥PD，BE⊥PC，又PD∩PC＝P，

∴BE⊥平面PCD.(8分)

(3)解：设平面PAD的一个法向量为n0＝(x，y，z)，

则由得

令z＝1，则n0＝(0，1，1)．

又＝(0，0，1)，设平面PBD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，

则由得

令x1＝1，则n1＝(1，－1，0)，

∴cos〈n0，n1〉＝＝＝－，

∴〈n0，n1〉＝120°.

又二面角A—PD—B为锐二面角，故二面角A—PD—B的大小为60°.(12分)

22．解：(1)由题意知：A(－a，0)，D(0，b)，2c＝2，a2－b2＝c2.

∴P(－，)，c＝，F1(－，0)，F2(，0)，

∴＝(－＋，－)，＝(＋，－)，

·＝－3＋＝－，

∴a2＋b2＝5.

∴a2＝4，b2＝1，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(6分)

(2)显然直线AS的斜率是存在的，且大于0，设为k，则k>0，

∴直线AS的方程为y＝k(x＋2)，代入椭圆方程，并整理得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0，

记S(x1，y1)，则x1－2＝－，x1＝，

y1＝k(x1＋2)＝，∴直线BS的方程为y＝－(x－2)，

由得M(，)，k>0，

由得N(，－)，k>0.

∴|MN|＝|＋|＝＋≥.

∴|MN|的最小值为.(12分)