石家庄市2013～2014学年度第一学期期末考试试卷

高二数学（理科答案）

一.选择题：

1-5AABDB 6-10 DBCBA 11-12BB

二.填空题：

13.
14.
15.
16.

三.解答题：

17.解：（Ⅰ）平均值：
，

方差为：

……………………5分

（Ⅱ）在所取样本中有3人加工零件个数超过样本均值22，

故优秀工人的频率为
，

根据样本情况估计总体中有
名优秀工人.………………10分

18．方法一：如图建立空间直角坐标系，

则
，
,
，

，
,
，
．………………………………2分

（Ⅰ）

………………………………4分

（Ⅱ）
为等腰直角三角形

∴由（Ⅰ）可知

即

………………………………6分

设平面
的法向量

令
………………………………8分

所以点
到平面
的距离

所以点
到平面
的距离为
．………………………………12分

方法二：

（Ⅰ）

为正三角形，
平面
，点
是
的中点

∴
，

∴
平面

∴
………………………………4分

（Ⅱ）过
作
，交
于

平面

∴

∴
平面

所以
的长度即为所求．…………………………8分

，
且

∴
………………………………10分

∴

∴点
到平面
的距离为
．　………………………………12分

19. 解：
的面积为2，………………………………2分

分别以，
，为圆心，1为半径的三个扇形的面积分别为

，
，
，………………………………8分

三个扇形的面积和为
………………………………10分

设第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的事件为，
.………………………………12分

20．解：（Ⅰ）设圆心
，半径为，

由题意可知
，
中点坐标为
，

线段
的垂直平分线的方程是
，

即
，所以
.①………………………………2分

又因为在轴上截得的线段长为
，

知
.②

由①②得：
，
或
，
.………………………………4分

当
，
时，

当
，
时，
，不合题意，舍去．

故圆
的方程为
. ………………………………6分

（Ⅱ）设直线
的方程为
，

，
，

由题意可知
，即
，

∴
.

整理得
………………………………8分

将
代入

可得
.

∴
，
，………………………………10分

即
，

∴
或
，

∴
或
. ………………………………12分

21．解：如图建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，

（Ⅰ）平面
的法向量

………………………………2分

与平面
所成角的正弦值为

解得
………………………………4分

即
，

，
，

平面

∴

即

解得

经验证，
符合
．

即

所以线段
长为1时，使得
平面
．………………………………6分（Ⅱ）
，从而，
，
，
，

设
为平面
的法向量，则

，……………………………8分设
为平面
的法向量，

，………………………………10分
，?故二面角
的余弦值为
.………………………………12分

22.解：（Ⅰ）由
……………………………2分

得

又

………………………………4分

椭圆方程为
………………………………6分

（Ⅱ）联立

得
设

………………………………8分

直线与圆相切
………………………………10分

=
………………………………12分

附加题：

解：令
，则

令
，得

又因为曲线与轴的左半轴交于B点,

又
，

当
时，
，当
时，
，

函数在
为增函数，在
上为减函数。

在
处取极大值即最大值为2.