高二年级（上）第四次月考测试卷

数学试卷参考答案(文科)

1．A　y′|x＝0＝cos x＋ex－3|x＝0＝－1.

2．D　焦点在x轴上，所以方程变为－＝1，a2＝6，b2＝m－1，所以6＋m－1＝9，解得m＝4.

3．B　∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题；綈p：?x∈R，log2(3x＋1)>0.

4．C　样本容量n＝25＋20＝45，男生和女生的抽样比都是，即按抽样比为的分层抽样方法抽取样本．

5．C　由f′(x)|x＝1＝x2－2bx＋3|x＝1＝4－2b＝0，得b＝2.令f′(x)＝x2－4x＋3＝0得x＝1或x＝3，易得y＝f(x)在x＝3取极小值0.

6．D　根据茎叶图计算得甲种树苗的平均高度为27，而乙种树苗的平均高度为30，但乙种树苗的高度分布不如甲种树苗的高度分布集中，故D正确．

7．A　依题意知，＝＝1.7，＝＝0.4，而直线＝－3＋x一定经过点(，)，所以－3＋×1.7＝0.4，解得＝2.

8．B　若方程＋ny2＝1，即＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则有＞＞0，即m＞2n＞0?m＞n＞0，故选B.

9.D　若f(x)＝x2－2ax＋a＋2＝(x－a)2－a2＋a＋2没有零点，则－a2＋a＋2＞0，解得－1＜a＜2，则函数y＝f(x)有零点的概率P＝1－＝.

10．D　S＝0，i＝1→S＝1，i＝2→S＝－1，i＝3→S＝2，i＝4→S＝－2，i＝5→S＝3，i＝6→S＝

－3，i＝7→S＝4，i＝8→S＝－4，i＝9→S＝5，i＝10→S＝－5，i＝11.

11．B　过B作BE垂直于准线l于E，∵＝，∴M为AB的中点，∴|BM|＝|AB|，又斜率为，

∴∠BAE＝30°，∴|BE|＝|AB|，∴|BM|＝|BE|，

∴M为抛物线的焦点，∴p＝2.

12．A　设f(x)＝＋ln x，则f′(x)＝＋＝.当x∈[，1)时，f′(x)<0，故函数f(x)在[，1)上单调递减；当x∈(1，2]时，f′(x)>0，故函数f(x)在(1，2]上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a≤0，即a的最大值为0.

13．b＝5　运算过程为a＝1，b＝1＋3＝4，b＝4＋1＝5.

14．2　∵由题可知样本的平均值为1，∴＝1，解得a＝－1，

∴样本的方差为[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.

15．(－∞，2]　∵g′(x)＝2x－，依题意g′(x)≥0在x∈(1，2)上恒成立，得2x2≥a在x∈(1，2)上恒成立，∴a≤2.

16.　令x＝0得y＝a＞a，故点P不在y轴上．当点P在y轴左侧时，由题知|PF1|＝|F1F2|，此时点P的坐标为(－2c，c)，将点P坐标代入直线方程得离心率e＝2(舍)；当点P在y轴右侧时，由题知|PF2|＝|F1F2|，此时点P的坐标为(2c，c)，将点P坐标代入直线方程得离心率e＝.

17．解：(1)由[10，15)内的频数是10，频率是0.25知，＝0.25，

所以M＝40.

因为频数之和为40，所以10＋25＋m＋2＝40，m＝3.

p＝＝＝0.075.

因为a是对应分组[15，20)的频率与组距的商，所以a＝＝0.125.(5分)

(2)因为该校高一学生有360人，分组[10，15)内的频率是0.25，

所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为90人．(10分)

18．解：若p为真命题，得：(k－4)·(k－6)＜0，∴4

若q为真命题，得：∴k＞5. (10分)

又p∧q为真命题，则5＜k＜6，

所以k的取值范围是(5，6)．(12分)

19．解：(1)由题意，基本事件有如下12个：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4) (3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)．

事件A包含的基本事件为如下4个：(2，4)，(3，4)，(4，2)，(4，3)．∴P(A)＝＝.(5分)

(2)记事件B为“x2＋y2≥12P(A)”，

则事件B等价于“x2＋y2≥4”．

所有基本事件构成的区域Ω＝{(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，

而事件B包含的基本事件构成区域B＝{(x，y)|x2＋y2≥4，x，y∈Ω}，

P(B)＝＝＝1－.

答：事件A的概率P(A)为；事件“x2＋y2≥12P (A)”的概率为1－.(12分)

20．解：(1)因为f′(x)＝x2－2ax＋b，

由f′(0)＝f′(2)＝1即得

则f(x)的解析式为f(x)＝x3－x2＋x，即有f(3)＝3，f′(3)＝4，

所以所求切线方程为4x－y－9＝0.(6分)

(2)∵g(x)＝x3－x2－3x，∴g′(x)＝x2－2x－3，

由g′(x)＝x2－2x－3>0，得x<－1或x>3，

由g′(x)＝x2－2x－3<0，得－1

∴函数g(x)的极大值为g(－1)＝，最小值为g(3)＝－9.(12分)

21．解：(1) 由条件知lAB：y＝x－，则消去y得x2－3px＋p2＝0，则x1＋x2＝3p，由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝4p.

又因为|AB|＝8，即p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x.(5分)

(2)由(1)知|AB|＝4p，且lAB：y＝x－，设M(，y0)，则M到AB的距离为d＝，因点M在直线AB的上方，所以－y＋y0＋＞0，

则d＝(－y＋y0＋)＝[－(y0－p)2＋p]．

由x2－3px＋p2＝0知A(p，(1－)p)，B(p，(1＋)p)，

所以(1－)p＜y0＜(1＋)p，则当y0＝p时，dmax＝p.

则(S△ABM)max＝·4p·p＝p2.(12分)

22．解：(1)f(x)＝ex－x2，则h(x)＝f′(x)＝ex－x，∴h′(x)＝ex－1＞0(x＞0)，

∴h(x)＝f′(x)在(0，＋∞)上递增，∴f′(x)＞f′(0)＝1＞0，

∴f(x)＝ex－x2在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)＞f(0)＝1.(4分)

(2)f′(x)＝ex－2kx，下求使f′(x)＞0(x＞0)恒成立的k的取值范围．

若k≤0，显然f′(x)＞0，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；

记φ(x)＝ex－2kx，则φ′(x)＝ex－2k，

当0＜k＜时，∵ex＞e0＝1，2k＜1，∴φ′(x)＞0，则φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，

于是f′(x)＝φ(x)＞φ(0)＝1＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

当k≥时，φ(x)＝ex－2kx在(0，ln 2k)上单调递减，在(ln 2k，＋∞)上单调递增，

于是f′(x)＝φ(x)≥φ(ln 2k)＝eln 2k－2kln 2k，

由eln 2k－2kln 2k≥0得2k－2kln 2k≥0，则≤k≤，

综上，k的取值范围为(－∞，]．(12分)