河北省正定中学2013-2014学年上学期高二期末考试（数学）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设全集
且
，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 设抛物线
上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是( )

A.4 B.6 C.8 D.12

3． 已知命题、,“非为真命题”是“或是假命题”的（ ）

A． 充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知
的解集为（ ）

A．
B．

C．
D．

5． 在△
中，若
，
，
，则
等于 （ ）

A．
B．

C．
或
D．

6. 如右图, 是一程序框图, 则输出结果为

A.
B.
C.
D.

7．已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为的正

三角形,俯视图是直径为2的圆,则此几何体的外接球的

表面积为

A．
　 B．
C．
D．

8. 已知点
是以角为直角顶点的
的外心，且
，
，则

A. B. C.
D.

9．已知
，是由直线
和曲线
围成的曲边三角形的平面区域，若向区域上随机投一点，点落在区域内的概率是
，则的值为( )

A．
B．
C．
D．

10. 右图是一次考试结果的频数分布直方图，根据该图可估计，这次考试的平均分数为( )

A. 46 B. 36 C. 56 D. 60

11. 在正方体
中，若是
的中点，则异面直线
与
所成角的大小是 ( )

A.
B.
C.
D.

12．已知双曲线
的左、右焦点分别
，
为双曲线的中心，是双曲线右支上的点，
的内切圆的圆心为，且⊙I与轴相切于点A，过
作直线
的垂线，垂足为，若为双曲线的率心率，则 ( )

A．
B．
C．
D．
关系不确定

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．实数
满足条件
则
的取值范围是　　　　　　　.

14．已知向量
,若
，则
的最小值为 ．

15．在等比数列
中，首项
，
，则公比为 ．

16．下列四个命题：

①命题“若
，则
”的否命题是“若
，则
”；

②若命题
；

③若命题“
”与命题“或”都是真命题，则命题一定是真命题；

④命题“若
”是真命题.

其中真命题为

三、解答题（共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（本题满分10分）某中学的高二(1)班男同学有
名，女同学有
名，老师按照分层抽样的方法组建了一个人的课外兴趣小组．

（Ⅰ）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；

（Ⅱ）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实 验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；

18.（本题满分12分）

（Ⅰ）已知等差数列{an}的公差d > 0，且
是方程
的两根，求数列
通项公式

（Ⅱ）设
，求数列{bn}的前n项和
.

19. (本题满分12分）

已知三棱锥
中，
面
，
，
，
为
上一点，
,
分别为
的中点.

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）求
与平面
所成角的大小.

20.（本题满分12分）

已知向量

，

，函数

（Ⅰ）若
，求
的值；

（Ⅱ）在锐角
中，角
的对边分别是
，且满足
，

求
的取值范围.

21．（本题满分12分）

已知椭圆

的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若过点
(2，0)的直线与椭圆
相交于两点
，设为椭圆上一点，且满足
（
为坐标原点），当
时，求实数取值范围．

22．（本题满分12 分）

已知函数
.

（Ⅰ）当
时，求
的最小值；

（Ⅱ）若函数
在区间
上为单调函数，求实数的取值范围；

（Ⅲ）当
时，不等式
恒成立，求实数的取值范围.

高二数学试题参考答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

B

B

C

C

B

C

C

D

B

D

C



二、填空题

13．
14.6 15．3 16． ②③

三、解答题

17．解：（Ⅰ）
某同学被抽到的概率为
………………2分

设有名男同学，则
，
男、女同学的人数分别为
…4分

（Ⅱ）把
名男同学和名女同学记为
，则选取两名同学的基本事件有

共
种，其中有一名女同学的有
种……………（8分）

选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为
………………10分

18.（Ⅰ）
（Ⅱ）

19.证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。

则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,
），N（
,0,0），S（1,
,0）.……4分

（Ⅰ）
,

因为
，

所以CM⊥SN ……6分

（Ⅱ）
,

设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，

则
……9分

因为

所以SN与片面CMN所成角为45°。 ……12分

20.解：

又
均为锐角

的取值范围是：
………………（12分）

21．解：（Ⅰ）由题意知
， 所以
．

即
．……2分又因为
，所以
，
．

故椭圆
的方程为
．…………………………4分

（Ⅱ）由题意知直线
的斜率存在.

设
：
，
，
，
，

由
得
.

，
.…………………………6分

，
.

∵
，∴
，
，
.

∵点在椭圆上，∴
，

∴
.…………………………8分

∵
，∴
，

∴

∴
，

∴
，∴
.…………………………10分

∴
，∵
，∴
，

∴
或
，

∴实数取值范围为
.…………………………12分

22．解：①

………………………………2分

当
时，
，当
时，

∴
在
上单调减，在
上单调增

∴
………………………………4分

②
………………………………5分

若
在
上单调增，则
在
上恒成立

恒成立

令
，
，则
，

∴
……7分

若
在
上单调减，则
在
上恒成立

综上，的取值范围是：
……………9分

③
恒成立

…………………………10分

当
时，不等式显然成立

当
时，

在
时恒成立 ………………………………11分

令
，即求的最小值

设
，
，
，

且A、B两点在
的图象上，又∵
，
，故

∴
，故

即实数的取值范围为
…………………………12分