第Ⅰ卷（选择题 共60分）

选择题（本大题共12道小题，每小题5分, 共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．给出下列语句：①二次函数是偶函数吗？②2>2；③sin＝1；④x2－4x＋4＝0.其中是命题的有(　　)

A．1个　　　　　　　　　　　 B．2个

C．3个 D．4个

2．设P是椭圆＋＝1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若|PF1|等于4，则|PF2|等于(　　)

A．22 B． 21

C．20 D．13

3如图，
是四面体，
是△ABC的重心，
是
上一点，且
，则

（ ）

A．

B．

C．

D．

4已知
为单位正交基底,
( )

A．－15 B．－5 C．－3 D．－1

5．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　)

A. B.

C. D．(，0)

6．与命题：“若a∈P，则b?P”等价的命题是(　　)

A．若a?P，则b?P B．若b?P，则a∈P

C．若a?P，则b∈P D．若b∈P，则a?P

7．“x<－1”是“x2－1>0”的(　　)

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8.已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是 (　　)．

A．2a，a－b，a＋2b B．2b，b－a，b＋2a

C．a，2b，b－c D．c，a＋c，a－c

9．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　)

A．不存在x0∈R，x－x＋1≤0 B．存在x0∈R，使x－x＋1>0

C．存在x0∈R，使x－x＋1≤0 D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0

10．过抛物线
的焦点F作一条直线交抛物线于P
、Q
两点，若x1+x2=6,则|PQ|的值等于（ ）

A.5 B.6 C.8 D.1

11．F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为(　　)

A．7 B.

C. D.

12．已知＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为 (　　)．

A．(，， ) B．(，，)

C．(，，) D．(，，)

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4道小题，每小题4分，共16分）

13．1．已知p：x2－1≥－1， q：4＋2＝7，则p且q为 命题，p或q为 命题(填“真”或“假”)

14．已知向量
，若

，则
______；若

则

______。 ．

15.在空间直角坐标系O
中,点P(2,3,4)在平面
内的射影的坐标为 ; 点P(2,3,4)关于平面
的对称点的坐标为 ;

16．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为

三、解答题（本大题共6道小题，共74分）

17）已知
，命题
函数
在
上单调递减，命题
曲线
与轴交于不同的两点，若
为假命题，
为真命题，求实数的取值范围。

18．设F1、F2分别为椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左、右焦点.

（Ⅰ）若椭圆上的点A（1，
）到点F1、F2的距离之和等于4，求椭圆C的方程；

（Ⅱ）直线
过F2斜率为
，交椭圆于A、B两点，求|AB|的长。

19．(10分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.

(1)证明：AC⊥BC1；

(2)求二面角C1-AB-C的余弦值大小．

20某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示．某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由．

21. 如图5所示的多面体是由底面为
的长方体被截面
所截而得到的，其中
．

（1）求
；

（2）求点到平面
的距离．

22．已知两点
、
,动点P满足条件
.

（Ⅰ）求动点P的轨迹方程E；

（Ⅱ）是否存在过点G（2，2）的直线
与曲线E交于不同的两点M、N，使G平分线段MN,试证明你的结论。

（III）若直线l：y＝kx+
与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且
（其中O为原点）．求k的取值范围．

芗城中学12—13学年下学期高一数学理科期中考答案

一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分, 共60分）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



B

A

B

A

C

D

A

C

B

C

B

C





二、填空题（本大题共4道小题，每小题4分，共16分）

13. 假 　真 14．.
15. . (2,3,0);(2,3,-4)

16. 

三、解答题（本大题共6道小题，共74分）

17．解:为真：
；……………………………2分

为真：
或
…………………………………4分

（1）当真假
………………………………9分

（2）当假真
…………………………11分

综上，的取值范围是

18．解：（Ⅰ）由椭圆上的点A到点F1、F2的距离之和是4，可得2a = 4，即a =2.

又点A（1，
）在椭圆上，因此
=1，解得b2=3，于是c2=1.

所以椭圆C的方程为
=1.

（Ⅱ）∵F2（1，0），

∴直线
的方程是
.

设A、B的坐标分别为（x1，y1）,(x2,y2),

联立
,消去y得：

∴

由弦长公式可知|AB|=
.

所以|AB|=
.

(2)平面ABC的一个法向量为m＝(0，0，1)，设平面C1AB的一

个法向量为n＝(x，y，z)，

＝(－3，0，4)，＝(－3，4，0)，

由得

令x＝4，则y＝3，z＝3.n＝(4，3，3)，

故cos〈m，n〉＝＝.

即二面角C1－AB－C的余弦值为.

20．解：以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，设抛物线对应的函数关系式y=ax2+bx+c，

因为抛物线的顶点为原点，所以抛物线过点（0，0），

代入得c=0；

隧道宽6m，高5m，矩形的高为2m，

所以抛物线过点[-3，-（5-2）]和[3，-（5-2）]，

代入得-3=9a-3b和-3=9a+3b，解得a=-
，b=0

所以y=-
．

如果此车能通过隧道，集装箱处于对称位置，

将x=1.5代入抛物线方程，得y=-0.75，

此时集装箱角离隧道的底为5-0.75=4.25米，不及车与箱总高4.5米，

即4.25＜4.5．

从而此车不能通过此隧道．

21． 解：（1）以为原点，
所在直线为轴，

轴，轴建立空间直角坐标系
，

，设
．

由
，得
，
．

．
．

（2）设
为平面
的法向量，
，由

得

又
，设
与
的夹角为，则
．

到平面
的距离
．

22．解：（Ⅰ）由双曲线定义可知：2a=
, a=
, c=2,∴b2=1

动点P的轨迹方程为：
.

（Ⅱ）假设存在这样的直线
,设M、N的坐标分别为（x1,y1）、(x2,y2)，

则有
作差得

∴
的方程为

由
消去y,得

∴
∴所求直线
存在.

(III)