（时间120分钟 满分150分）

命题：胡积谋 审核：刘水明

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的, 把答案填在答题卷相应位置．

1．已知命题
，
，则（ ）

A.
，
B.
，

C.
，
Ｄ.
，

2.等差数列
中,
,则数列
的公差为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

3.若条件

则为的（　　）

A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 　D.既不充分又不必要条件

4.如图，在等腰直角三角形
中，在斜边
上找一点
，则
的概率为（　　）

A．
B．
C．
D．

5.下列有关命题的说法正确的是（ ）

A．命题“若
，则
”的否命题为：“若
，则

B．命题“矩形是平行四边形”的否定为真命题;

C．命题“若
，则
”的逆否命题为真命题

D．命题“若
，则
互为相反数”的逆命题为真命题

6.若椭圆
上的一点到椭圆一个焦点的距离为
，则到另一焦点距离为（ ）

A． B．
C．
D．

7.数列
的通项公式是
，若其前项的和为
，则项数为（ ）

A．12 B．11 C．10 D．9

8.如图所示的程序框图，如果输入三个实数，
，，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）

A．
B．
C．
D．

9.已知
且
则
的最小值为（ ）

A.6 B.12 C.25 D.36

10．椭圆
被直线
所截得的弦长
＝（ ）

A.
B.
C.
D.

11．已知是椭圆
的左焦点,是椭圆上的一点,
轴,
(
为原点), 则该椭圆的离心率是（ ）

A．
B．
C．
D．

12．在数列
中，如果存在常数
，使得
对于任意正整数均成立，那么就称数列
为周期数列，其中叫做数列
的周期. 已知周期数列
满足
，若
，当数列
的周期为
时，则数列
的前2015项的和
为（ ）

A．1344 B．1343 C．1342 D． 1341

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷相应位置．

13.函数
的最小值为________.

14.大小、形状相同的白、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取

2次，则摸取的2个球均为白色球的概率是_______.

15.如右图算法输出的结果是_______.

16.椭圆
，过右焦点作不垂直于轴的弦交椭圆于、两点，
的垂直平分线交轴于
，则
等于_______.

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤, 把答案填在答题卷相应位置．

17．（本小题满分12分）

（Ⅰ）命题“
”为假命题，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若“
”是“
”的充分不必要条件，求实数的取值范围.

18. （本小题满分12分）

（Ⅰ）若椭圆上任一点到两个焦点(－2，0)，(2，0)的距离之和为6,求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若椭圆过(2,0)，离心率为，求椭圆的标准方程.

19．（本小题满分12分）

已知命题
点(-2,1)和点(1,1)在直线
的同侧, 命题：不等式组

所对应的区域中的
满足
,

（Ⅰ）若命题与命题均为真命题，分别求出各自所对应的实数的取值范围；

（Ⅱ）若为真命题，且为假命题，求实数的取值范围.

20. （本小题满分12分）

若两集合
,
， 分别从集合
中各任取一个元素、，即满足
，

，记为
，

（Ⅰ）若
，
，写出所有的
的取值情况，并求事件“方程
所对应的曲线表示焦点在轴上的椭圆”的概率；

（Ⅱ）求事件“方程
所对应的曲线表示焦点在轴上的椭圆，且长轴长大于短轴长的
倍”的概率.

21.（本小题满分12分）

已知二次函数
，满足不等式
的解集是（-2，0），

（Ⅰ）求
的解析式；

（Ⅱ）若点

在函数
的图象上，且
，令
，

（ⅰ）求证：数列
为等比数列；

（ⅱ）令
，数列
的前项和为
，是否存在正实数
使得不等式
对任意
的恒成立? 若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由．

22.（本小题满分14分）

如图，点是椭圆
：
的左焦点，、分别是椭圆的右顶点与上顶点，椭圆的离心率为
，三角形
的面积为
，

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）对于轴上的点
，椭圆
上存在点
，使得
，求实数的取值范围；

(Ⅲ)直线
与椭圆
交于不同的两点
、
(
、
异于椭圆的左右顶点)，若以
为直径的圆过椭圆
的右顶点，求证：直线
过定点，并求出该定点的坐标.

解：（Ⅰ）若
，则
，即
，

因此该命题为假命题时，得
；………………………………………6分

（Ⅱ）由
得
，另由
即
，

“
”是“
”的充分不必要条件，

.…………………………………………………………………………12分

当椭圆焦点在轴上时，
，
，所求椭圆方程为
；…………10分

当椭圆焦点在轴上时，
，
，所求椭圆方程为
.…………12分

（Ⅱ）若为真命题，且为假命题，则真假，即
，即
.……12分

20. （本小题满分12分）

若两集合
,
， 分别从集合
中各任取一个元素、，即满足
，
，

记为
，

（Ⅰ）若
，
，写出所有的
的取值情况，并求事件“方程
所对应的曲线表示焦点在轴上的椭圆”的概率；

（Ⅱ）求事件“方程
所对应的曲线表示焦点在轴上的椭圆，且长轴长大于短轴长的
倍”的概率.

解：（Ⅰ）由题知所有的
的取值情况为：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
共16种，………………2分

若方程
所对应的曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
，即
，

对应的
的取值情况为：
，
，
，
，
，
共6种，………………4分

该事件概率为
；………………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）由题知
，
，椭圆长轴为
，短轴为
，……………………… 8分

由
，得
，如图所示，…………………10分

该事件概率为
.………………………12分

21.（本小题满分12分）

已知二次函数
，满足不等式
的解集是
，

（Ⅰ）求
的解析式；

（Ⅱ）若点

在函数
的图象上，且
，令
，

（ⅰ）求证：数列
为等比数列；

（ⅱ）令
，数列
的前项和为
，是否存在正实数
使得不等式
对任意
的恒成立? 若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）不等式
的解集是
，

由韦达定理得
，即
，……………………………………………2分

；……………………………………………………………………3分

（Ⅱ）点

在函数
的图象上，
，

（ⅰ）
，
，

即
数列
为等比数列； ……………………………………………………7分

（ⅱ）由（ⅰ）知
，公比为，
；

又
，

，

，

错位相减得：
，

整理得
，……………………………………………………………………9分

,即
，

化简整理得
对任意
的恒成立, ………………………………………10分

令
,只要
,

配方得
,

,当
时
,即
.………………………………………12分

22.（本小题满分14分）

如图，点是椭圆
：
的左焦点，、分别是椭圆的右顶点与上顶点，椭圆的离心率为
，三角形
的面积为
，

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）对于轴上的点
，椭圆
上存在点
，使得
，求实数的取值范围；

(Ⅲ)直线
与椭圆
交于不同的两点
、
(
、
异于椭圆的左右顶点)，若以
为直径的圆过椭圆
的右顶点，求证：直线
过定点，并求出该定点的坐标.

解：（Ⅰ）由
，即由
，得
，

,解得
,

,
,即椭圆
的方程为
；…………3分

（Ⅱ）
,
,设
,则
,

,
,
,

,
,………………………5分

,
,即
；………………………7分

(Ⅲ)联立
消得:
,

设

,即
，

，…………………………………………………………9分

若以
为直径的圆过椭圆
的右顶点，

则
，即
，…………11