数 学 试 题

一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 命题“
”的否定为（ ）

A.
B.

C.
D.

2. 在等差数列
中，已知
则
（ ）

A.12 B.16 C.20 D.24

3. 双曲线的两条渐近线方程为
,则双曲线的离心率为( )

A.
B.2 C.
或
D.
或

4. 一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是 （ ）

A．6 B．12 C．24 D．36

5. 已知命题
；命题
函数
的图像关于直线
对称。则下列判断正确的是（ ）

A.为真 B.
为假 C.
为假 D.
为真

6. 甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，
分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的众数，
分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有( )

A.
B.
C.
D.

7. 若圆心在轴上、半径为
的圆
位于轴左侧，且与直线
相切，则圆
的方程是（ ）

A．
B．

C．
D．

8. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）

A.
B.
C.
D.

9. 已知椭圆
的右焦点为
，

过点的直线交椭圆于
两点.若
的中点坐标为

(1，－1)，则的方程为 ( )

A.
B.
错误！未找到引用源。

C.
D.

10. 过双曲线
左焦点
，倾斜角为
的直线交双曲线右支于点，若线段
的中点在轴上，则此双曲线的离心率为（ ）

A.
B.
C. 3 D.

11. 已知
为椭圆
的两个焦点，为椭圆上一点且
，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

12.设抛物线
的焦点为，过点
的直线与抛物线相交于
两点，与抛物线的准线相交于点
，
，则
与
的面积之比
（　　）

A.
B.
C.
D.

二．填空题（每题5分，共20分）

13.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出

人．

14. 在
内任取一个实数，设
，则函数
的图像与轴有公共点的概率等于 。

15. 点
为定点，点是抛物线
的焦点，点在抛物线
上移动，若
取得最小值，则点的坐标为 。

16.（1）“数列
为等比数列”是“数列
为等比数列”的充分不必要条件.

（2）“
”是
在区间
上为增函数”的充要条件.

（3）
是直线
与直线
互相垂直的充要条件.

（4）设
分别是
的内角
的对边,若
.则
是
的必要不充分条件.

其中真命题的序号是 (写出所有真命题的序号)

三．解答题（共70分）

17.（本小题10分）

已知等比数列
单调递增，
，
，
.

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）若
，求的最小值.

18.（本小题12分）

已知集合
，
．命题
，

命题
，并且命题是命题
的充分条件，求实数的取值范围．

19.（本小题满分12分）

已知方程
是关于的一元二次方程．

（Ⅰ）若是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，
是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率；

（Ⅱ）若
分别是区间是
内的随机数，求上述方程有实数根的概率．

20.（本小题满分12分）

设
的内角
所对的边分别为
且
.

（1）求角的大小;

（2）若
,求
的周长的取值范围.

21.（本小题12分）

如图所示，在四棱锥
中，底面
为矩形，
平面
，点在线段
上，
平面
．

（1）证明：
⊥平面
；

（2）若
，当
与平面
所成角的正切值为
时，求四棱锥
的外接球表面积．

22.（本小题12分）

设椭圆
的左、右焦点分别为
，上顶点为，离心率为
，在轴负半轴上有一点，且

（1）若过
三点的圆恰好与直线
相切，求椭圆
的方程；

（2）在（1）的条件下，过右焦点
作斜率为
的直线
与椭圆
交于
两点，在轴上是否存在点
，使得以
为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围；如果不存在，说明理由．

第三次月考

数学试题答案

CBCBC BDDAD CA

13.25 14.
15.（1,2） 16.①④

17.

19. 解：设事件为“方程
有实数根”．

当
，
时，方程
有实数根的充要条件为
．………………2分

（Ⅰ）基本事件共12个：
，
，
，
．其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．……………3分

事件中包含9个基本事件．……………………………（4分）

事件发生的概率为
．……………（6分）

（Ⅱ）试验的全部结果所构成的区域为
．

构成事件的区域为
．………（8分）

所以所求的概率
．……………（12分）

20. 解(Ⅰ)由
得
…………1分

又

…………3分

又

…………4分

(Ⅱ)由正弦定理得:
,

…………8分

, …………10分

故
的周长的取值范围为
. …………12分

21.(1)证明　∵
，
，∴
．………2分

同理由
，可证得
．………4分

又
，∴
．………6分

22.解：（1）由题意
，得

，所以

又
由于
，所以
为
的中点，所以

所以
的外接圆圆心为
，半径
…3分

又过
三点的圆与直线
相切，

所以
解得
，

所求椭圆方程为
…………………………………………………… 6分

（2）有（1）知
,设
的方程为：

将直线方程与椭圆方程联立

,整理得

设交点为
，因为

则
……………………………………8分

若存在点
，使得以
为邻边的平行四边形是菱形，

由于菱形对角线垂直，所以

又

又
的方向向量是
，故
，则

，即

由已知条件知

………………………11分

，故存在满足题意的点且的取值范围是
………………13分