玉溪一中2013-2014学年上学期期中考试

高二数学（理科）试卷

一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把答案填涂在答卷上.

1.函数
的定义域是（ ）

A.
B.
C.
D.

2.已知
，
，
，则
的大小关系是（ ）

A．
B.

C．
D．

3.已知
为第二象限角,
,则
（　 　）

A．
B．
C．
D．

4.设
分别为两个不同的平面，直线
，则“
”是

“
”成立的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5.执行如右图所示的程序框图,输出的结果是( )

A．11 B．12 C．13 D．14

6.甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示
,
分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数,
分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差,则有（ 　　）

A．
,
B．
,

C．
,
D．
,

7. 如图，
若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，

其直角边长均为1，则该几何体的表面积为 （ ）

A．
B．

C．
D．

8.将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，……600，

采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的

号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在

第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ

营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）

A．26, 16, 8, B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9

9.已知
，若向区域
内随机投一点
，则点
落在区域
内的概率为(　　　)

A. B. C. D.

10.设
若
的最小值为（ ）

A. 8 B. 4 C. 1 D.

11.在
中,
是边
中点,角
的对边分别是
,若
,则
的形状为（　 ）

A．等边三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形但不是等边三角形.

12.已知函数
的定义域为
, 且
奇函数.当
时,
=
-
-1,那么,当
时,
的递减区间是 ( )

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.请把答案写在答卷上.

13．已知向量
,
.若
,则实数
__________

14.某地区对某段公路上行驶的汽车速度监控,从中抽取200辆汽车进行测速分析,得到如图所

示的频率分布直方图,根据该图,可估计这组数据的平
均数和中位数依次为 。

15.命题
关于
的不等式
对一切
恒成立；命题
函数
是减函数，若
为真命题，
为假命题，则实数
的取值范围为 。

16．已知三棱锥
的所有顶点都在球
的球面上，
是边长为
的正三角形，
为球
的直径，且
，则此棱锥的体积为 　

三、解答题：本大题共6小题，共70分.请把答案写在答卷上.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)[来源:学_科_网]

已知等差
数列
的前
项和为
,
.

(1)求数列
的通项公式;

(2) 设
,求数列
的前
项和
.

18．(本小题满分12分)

相关部门对跳水运动员进行达标定级考核，动作自选，并规定完成动作成绩在八分及以上的定为达标，成绩在九分及以上的定为一级运动员. 已知参加此次考核的共有56名运动员.

（1）考核结束后，从参加考
核的运动员中随机抽取了8人，发现这8人中有2人没有达标，有3人为一级运动员，据此请估计此次考核的达标率及被定为一级运动员的人数；

（2）经过考核，
决定从其中的A、B、C、D、E五名
一级运动员中任选2名参加跳水比赛（这五位运动员每位被选中的可能性相同）. 写出所有可能情况，并求运动员E被选中的概率.

19．(本小题满分12分)

已知函数

（1）求
的单调递增区间；[来源:学科网]

（2）在
中，内角A,B,C的对边分别为
，已知
，
成等差数列，且
，求边
的值.[来源:学科网]

20. (本小题满分12分)

在三棱锥
中,
是边长为2的正三角形,平面
平面
,
,
分别为
的中点.

(1)证明:
;

(2)求锐二面角
的余弦值;

21．(本小题满分12分)

在平面直角坐标系
中，已知
圆
和圆
.

（1）若直线
过点
，且被圆
截得的弦长为
，求直线
的方程；

(2）设
为平面上的点，满足：存在过点
的无穷多对互相垂直的直线
和
，它们分别与圆
和圆
相交，且直线
被圆
截得的弦长与直线
被圆
截得的弦长相等，试求所有满足条件的点

的坐标。

22．(本小题满分12分)

对于函数
若存在
,使得
成立,则称
为
的不动点.

已知

(1)当
时,求函数
的不动点;

(2)若对任意实数
,函数
恒有两个相异的不动点,求
的取值范围;

(3)在(2)的条件下,若
图象上
、
两点的横坐标是函数
的不动点,且
、
两点关于直线
对称,求
的最小值.

玉溪一中高2015届高二上学期期中考试

理科数学试卷参考答案

一、选择题：BCBAC, BDBDB, AC

二、填空题：13.
14. 72和72.5 15.
16.

三、解答题：

17.解: (1)设
的公差为d,
;则

即
,解得
,

(2)
,

18. 解：（Ⅰ）依题意，估计此次考核的达标率为

一级运动员约有

（人） [来源:学科网]

（Ⅱ）依题意，从这五人中选2人的基本事件有：（A、B）（A、C）（A、D）（A、E）

（B、C）（B、D）（B、E）（C、D）（C、E）（D、E），共10个

其中“E被选中”包含：（A、E）（B、E）（C、E）（D、E）4个基本事件，

因此所求概率

19.解：（1）

令

的单调递增区间为

（2）由
，得

∵
，∴
，∴

由b,a,c成等差数列得2a=b+c

∵
，∴
，∴

由余弦定理，得

∴
，∴

20. (1)证明:取
中点
,连结
,
.

∵
∴
且

∴
平面
,又
平面
,∴
.

解：(2)设OB与CE交于点G，取OB
中点为M，作MH(CE交CE于点H，连结FM,FG.

平面
平面
且
，

,
,
,

从而
.
,
是二面角
的平面角.

由
得
,

在
中
,
,

,

故锐二面角
的余弦值为
.

21. 解：（1）设直线
的方程为
，即

由垂径定理得圆心
到直线
的距离

结合点到直线的距离公式
得

解得

所求直线
的方程为
或
，即
或

（2）设点
，直线
的方程分别为

即

由题意可知圆心
到直线
的距离等于
到直线
的距离

即
，化简得

关于
的方程由无穷多解，则有
，

故

22.解:(1)
时,
,

函数
的不动点为-1和3;

(2)即
有两个不等实根,转化为
有两个不等实根,需有判别式大于0恒成立

即
,

的取值范围为
;

(3)设
,则
,

A,B的中点M的坐标为
,即

两点关于直线
对称,

又因为A,B在直线
上,

,A,B的中点M在直线
上.

[来源:学科网]

利用基本不等式可得当且仅当
时,b的最小值为
.