本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：试卷分第I卷和第II卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.

第I卷 共60分

一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求.

1．袋中有2个白球，3个黑球，从中依次取出2个，则取出2个都是白球的概率是

A．
B．
C．
D．

[来源:学科网ZXXK]























2．右表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量
(吨
)与相应的生产能耗
（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，可求出
关于
的线性回归方程

，则表中
的值为

A．
B．
C．
D．

3．
直线
的参数方程可以是

A．
B．
C．
D．

4．已知随机变量
，且
，则
等于

A．
B．

C．
D．

5．从
中任取
个不同的数，事件
为“取到的
个数之和为偶数”，事件
为“取到的
个数均为偶数”，则
等于

A．
B．
C．
D．

6．
年第
届全国运动会将在沈阳举行,某校
名大学生申请当
三个比赛项目的志愿者,组委会接受了他们的申请,每个比赛项目至少分配一人,每人只能服务一个比赛项目,若甲要求不去服务
比赛项目,则不同的安排方案共有

A．
种 B．
种
C．
种 D．
种

7．设
，则矩阵
的一个特征值
和对应的一个特征向量
为

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

8．若
,则

的值为

A．
B．
C．
D．

9．二项式
的展开式中含有
的项，则正整数
的最小值是

A．4 B．6 C．8 D． 12

10．已知等式

，则
的值分别为

A．

B．
C．
D．

11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，

若第
行中从左至右第
与
第
个数的比为
，

则
的值为

A.

B.

C.
D.

12．在右图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通

电时保险丝被切断的概率，当开关合上时，电路畅通的概率是

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 共90分[来源:学科网ZXXK]

二、填空题：本大题有4小题，共5个
空格，每个空格4分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.

13．随机变量
，则
的值为 ***** .

14．函数
的最小值为***** .

15．设
均为正数，且
，则
的最小值为***** .

16．给
个自上而下相连的正方形着黑色或白色. 当
时，

在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的所有着

色方案如图所示. 由此推断，当
时，黑色正方形互

不相邻的着色方案共有***** 种，至少有两个黑色正方

形相邻的着色方案共有***** 种. （直接用数字作答）

三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分10分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）若不等式
，
求
的取值范围；

（Ⅱ）若不等式
的解集为R，求
的取值范围．

18．（本小题满分10分）

若圆
在矩阵
对应的变换下变成椭圆

求矩阵
的逆矩阵
.

19．（本小题满分12分）

“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式过马路 ”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取
名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：

男性

女性

合计



反感

10







不反感



8





合计





30



 [来源:学.科.网Z.X.X.K]

已知在这
人中随机抽取
人抽到反感“中国式过马路 ”的路人的概率是
.

(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整（在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料判断是否有
的把握认为反感“中国式过马路 ”与性别有关？

(Ⅱ）若从这
人中的女性路人中随机抽取
人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为
，求
的分布列.

附：
，其中

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635





20．(本小题满分12分)

已知曲线
的极坐标方程为
,以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,直线
的参数方程

(Ⅰ)写出直线
的普通方程与曲线
的直角坐标方程；

(Ⅱ)设曲线
经过伸缩变换
得到曲线
,在曲线
上求一点
,使点
到直线
的距离最小，并求出最小距离.

21．(本小题满分12分)

甲、乙两人玩猜数字游戏,规则如下:

①连续竞猜
次,每次相互独立；

②每次竟猜时,先由甲写出一个数字,记为
,再由乙猜测甲写的数字,记为
,已知
,若
,则本次竞猜成功；

③在
次竞猜中,至少有
次竞猜成功,则两人获奖.

(Ⅰ) 求甲乙两人玩此游戏获奖的概率；

(Ⅱ）现从
人组成的代表队中选
人参加此游戏,这
人中有且仅有
对双胞胎，记选出的
人中含有双胞胎的对数为
,求
的分布列和期望.

22．（本小题满分14分）

规定
其中
，
为正整数，且
=1，这是排列数
(
是正整数，
)的一种推广．

(Ⅰ) 求
的值；

(Ⅱ）排列数的两个性质：①

，②


(其中m，n是正整数)．是否都能推广到
(
，
是正整数)的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；

(Ⅲ）已知函数
，试讨论函数
的零点个数．

参考答案

三、解答题：

[来源:学科网ZXXK]

18．解：设点
为圆C:
上任意一点,经过矩阵A变换后对应点为
,

则
,所以

因为点
在椭圆
:
上,所以
,

又圆方程为
,故
,即
,又
,
,所以
,
.

所以
,

所以

（Ⅱ）
的可能取值为

所以
的分布列为：

0

1

2















20．解
：（Ⅰ）由
得，
，

由
得，圆
.

(Ⅱ) 设点
是圆C上的任意一点，经过伸缩变换
得到点

由
得
，把
代入圆
得，

所以曲线

令
，则点
到直线
的距离

∴当
即
时，
，此时，

∴当
时，点
到直线
的距离的最小值为
.

21．解：（Ⅰ）记事件
为甲乙两人一次竞猜成功，则

则甲乙两人获奖的概率为

22.解：（Ⅰ）

（Ⅱ）性质①、②均可推广，推
广的形式分别是①

，②


(
)

证明：①当
时，左边
，右边
，等式成立；

当
时，左边

因此，

(
)成立.

②当
时，左边
右边，等式成立；

当
时，左边

=右边

因此，


(
)成立.

(Ⅲ）

设函数
，

则函数
零点的个数等价于函数
与
公共点的个数.

的定义域为

令
，得











-

0

+





减



增



∴当
时，函数
与
没有公共点，即函数
不存在零点，[来源:学_科_网Z_X_X_K]

当
时，函数
与
有一个公共点，即函数
有且只有一个零点，

当
时，函数
与

有两个公共点，即函数
有且只有两个零点.