2013高二数学暑假作业（六）

一、选择题

1 .集合
,
,若
,则
的值为

A.0 B.1 C.2 D.4

2. i是虚数单位，若
，则乘积
的值是

A.－15 B.－3 C.3 D.15

3. 命题“存在
R，

0”的否定是

A. 不存在
R,
>0 B. 存在
R,

0

C. 对任意的
R,

0 D. 对任意的
R,
>0

4. 已知
，则“
”是“
恒成立”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5. 已知函数
满足：x≥4,则
＝
；当x＜4时
＝
，则
＝

A.
B.
C.
D.

6．已知函数
是偶函数，当
时，
恒成立，设

，则
的大小关系为

A．
B．
C．
D．

7．若双曲线
与椭圆
（
）的离心率之积大于1，则以
为边长的三角形一定是

A．等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形

8. 设向量
，
满足：
，
，
．以
，
，
的模为边长构成三角形，则它的边与半径为
的圆的公共点个数最多为

A．
B.4 C．
D．

9. 若函数
的零点与
的零点之差的绝对值不超过0.25， 则
可以是

A.
B.

C.
D.

10. 在平行四边形
中，
与
交于点
是线段
的中点，
的延长线与
交于点
．若
，
，则

A．
B．
C．
D．

11．符号
表示不超过
的最大整数,例如
,
,定义函数
,给出下列四个命题(1)函数
的定义域为
,值域为
;(2)方程
有无数个解;(3)函数
是周期函数;(4)函数
是增函数.其中正确命题的序号有

A.(2)(3) B.(1)(4) C.(3)(4) D.(2)(4)

12. 若存在过点
的直线与曲线
和
都相切，则
等于

A．
或
B．
或
C．
或
D．
或

二、填空题

13. 中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆
都相切，则双曲线C的离心率是______________.

14. 函数y=loga(x+3)-1(a>0,a
1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0,则
的最小值为 .

15. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的
的值是

16. 在
上定义运算
,若不等式
对任意实数
均成立,则
的取值范围是__________

三、解答题

17．已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若
为正常数，设
，求函数
的最小值；

（Ⅲ）若
，
，证明：
.

18、 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.

（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；

（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低.

19. 如图所示，已知圆
为圆上一动点，点
在
上，点
在
上，且满足
的轨迹为曲线
.

（I）求曲线
的方程；

（2）过点
且斜率为k的动直线
交曲线
于A、B两点，在y轴上是否存在定点G，满足
使四边形
为矩形？若存在，求出G的坐标和四边形
面积的最大值；若不存在，说明理由。

20．设函数
.

（Ⅰ）当
时，求
的极值；

（Ⅱ）当
时，求
的单调区间；

（Ⅲ）当
时，对任意的正整数
，在区间
上总有
个数使得

成立，试问：正整数
是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.

2013高二数学暑假作业（六）

一、选择题

1-5 DBDCA 6-10 ADBAB 11-12 AA

二、填空题

13.
14. 8 15.
．16.

三、解答题

17．【解】（Ⅰ）∵
，解
，得
；解
，得
.

∴
的单调递增区间是
，单调递减区间是
.

（Ⅱ）∵
，定义域是
.

∴

由
，得
，由
，得

∴ 函数
在
上单调递减；在
上单调递增

故函数
的最小值是：
.

（Ⅲ）∵
，
，∴ 在（Ⅱ）中取
，

可得
，即
.

∴
，

∴
.

即
.

18.解：（1）设污水处理池的宽为
米，则长为
米.

则总造价f(x)=400×（
）+248×2x+80×162

=1 296x+
+12 960=1 296（
）+12 960≥1 296×2
+12 960=38 880（元），

当且仅当x=
(x＞0),即x=10时取等号.

∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元.

（2）由限制条件知
,∴

设g(x)=
（

）.

g（x）在
上是增函数，

∴当x=10
时(此时
=16), g(x)有最小值，即f(x)有最小值.

∴当长为16米，宽为10
米时，总造价最低.

19 解：（1）

∴NP为AM的垂直平分线，∴ |NA|=|NM|

又

∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.

且椭圆长轴长为
焦距2c=2.

∴曲线E的方程为

（2）动直线
的方程为：

由
得

设
则

假设在y上存在定点G（0，m），满足题设，则

由假设得对于任意的
恒成立，

即
解得m=1。

因此，在y轴上存在定点G，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点G的坐标为（0，1）

这时，点G到AB的距离

设
则

得

所以

当且仅当
时，上式等号成立。

因此，
面积的最大值是

20．解:(I)函数
的定义域为
.　　

当
时，
，∴
.

由
得
.

，
随
变化如下表:











减

0

增





-

极小值

+



由上表可知，
，没有极大值.

（II）由题意，
.　　

令
得
，
.　　　

若
，由
得
；由
得
.　

若
，

①当
时，
，
或
，
；
，
.

②当
时，
.

③当
时，
，
或
，
；
，
.

综上，当
时，函数的单调递减区间为
，单调递增区间为
；

当
时，函数的单调递减区间为
，
，单调递增区间为
；

当
时，函数的单调减区间是
,

当
时，函数的单调递减区间为
，
，单调递增区间为
.

(Ⅲ) 当
时，
，
.

∵
，∴
.　　

∴
，
.　

由题意，
恒成立.

令
，且
在
上单调递增，

，因此
，而
是正整数，故
，

所以
时，存在
，
时，对所有
满足题意.

∴
.