高二下学期第三次月考数学试题

一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意）

1.已知全集是
，集合
和
满足
，则下列结论中不成立的是

A．
B．
C.
D．

2.设
则“
”是“复数
为纯虚数”的

A．充分不必要条件 　　B．必要不充分条件 C.充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3. 若
为等差数列
的前n项和，
，
，则
与
的等比中项为

A.
B .
C .
D.

4.二项式
的展开式的第二项的系数为
，则
的值为

A.
B.
C.
或
D.
或

5.10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是

A. B. C. D.

6.将函数
的图象
向右平移
，再向上平移3个单位，得到图象
,若
的一条对称轴方程是
,则
的一个可能取值是　　

A.
B.
C.
D.

7.已知函数
的零点依次为
，则

A．
B．
C．
D．

8.如图是抛物线形拱桥，当水面在图中位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水下降1米后，水面宽为

A.
米 B.
米 C.
米 D.
米

9.如图，正方体
中，
分别为棱
的中点，在平面
内且与平面
平行的直线

A．有
条 B．有
条 C．有无数条 D．不存在

10.点
在双曲线
上，
是这条双曲线的两个焦点，
，且
的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是

A .
　　　B .
　　　 C.
　　　　D .

11.已知

为
的导函数，则
的图像是

12. 定义域为
的函数
图象的两个端点为
，向量
，
是
图象上任意一点，其中
. 若不等式
恒成立， 则称函数
在
上满足 “
范围线性近似”，其中最小的正实数
称为该函数的线性近似阀值．则定义在[1,2]上的函数
与y=
的线性近似阀值分别是（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.已知点
在不等式组
表示的平面区

域内运动，则
的最小值为________.

14.执行右边的程序框图，输出的
.

15.下列命题

命题“
”的否定是

“
”；

不等式
恒成立的，则
；

已知
，则
；

若随机变量
服从正态分布
且
，则
.

其中，正确命题的序号为_________________.

16.如图，在平面直角坐标系
中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P的位置在（0,0），圆在x轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于（2,1）时，
的坐标为______________.

三.解答题

17.（本小题满分12分）已知函数
，其中

其中
，若
相邻两对称轴间的距离不小于
.

求
的取值范围；

在
中，
分别是角
的对边，
，当
最大时，
，

求
的面积.

18.（本小题满分12分）为了响应学校“学科文化节”活动，数学组举办了一场数学知识比赛，共分为甲、乙两组．其中甲组得满分的有1个女生和3个男生，乙组得满分的有2个女生和4个男生．现从得满分的学生中，每组各任选2个学生，作为数学组的活动代言人．

（1）求选出的4个学生中恰有1个女生的概率；（2）设
为选出的4个学生中女生的人数，求
的分布列和数学期望．

19.（本小题满分12分）平行四边形
中，
，且
，以
为折线，把
折起，使平面
，连
.

（1）求证：
；

（2）求二面角
的大小；[]

（3）求四面体
外接球的体积.

20.（本小题满分12分）如图，椭圆
：
的焦点在
轴上，左、右顶点分别为
，上顶点为
，抛物线
、
分别以
为焦点，顶点均为坐标原点
，
与
相交于直线
上一点
.

（1）求椭圆
及抛物线
、
的方程；

（2）若动直线
与直线
垂直，且与椭圆
相交于不同两点
，已知点
，求
的最小值.

21.（本小题满分12分）已知函数
.

(1)若
值点，求
的值；

(2）求证：当
时，
在
上是增函数；

(3）若对任意的
,
,使不等式
成立，求实数
的取值范围.

请考生在第22～24三题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分．

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，已知
切
于点
，割线
交
于
两点，
的平分线和
分别交于点
．求证：

（1）
； （2）
．

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知圆
的参数方程为
（
为参数），以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆
的极坐标方程为
．

（1）将圆
的参数方程化为普通方程，将圆
的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）圆
、
是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数
.

(I)证明:
≤
≤3;(II)求不等式
≥
的解集.

高二年级第三次月考试题

数学答案

一、选择题：

DCBCD BADCD AA

二、填空题：

13.-3 14.30 15. （2）（3）（4） 16.

三、解答题（共6个小题，第17题10分，其余每个小题12分，共70分）

17.解：（1）

由题意可知

解得
　　　　　………………………………6分

（2）由（Ⅰ）可知
的最大值为1，

，而

由余弦定理知

联立解得

…………………12分

18.解：（1）设“从甲组内选出的2个同学均为男同学；从乙组内选出的2个同学中，1个是男同学，1个为女同学”为事件
，“从乙组内选出的2个同学均为男同学；从甲组内选出的2个同学中1个是男同学，1个为女同学”为事件
，由于事件
?
互斥，且

∴选出的4个同学中恰有1个女生的概率为

……………………5分

（2）
可能的取值为0，1，2，3，

∴
的分布列为

0

1

2

3



P











…………10分

∴
的数学期望
…………………………12分

19.解：（Ⅰ）在
中，

， 易得
，

面

面


面


…4分

（Ⅱ）在四面体ABCD中，以D为原点，DB为
轴，DC为
轴，过D垂直于平面BDC的射线为
轴，建立如图空间直角坐标系.



则D（0， 0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（2，0，2）

设平面ABC的法向量为
，而
，

由
得：
，取
.

再设平面DAC的法向量为
，而
，

由
得：
，取
，

所以
，所以二面角B-AC-D的大小是
…………………8分

（Ⅲ）由于
均为直角三角形，故四面体ABCD的外接球球心在AC中点，

又
，所以球半径
，得
. …………………12分

20．解：（I）由椭圆方程得
，所以抛物线
的方程可设为
，抛物线
的方程为
。……1分

由
，得
，……3分

所以椭圆C的方程为
,抛物线
的方程为
,抛物线
的方程为
…5分

（II）由题设知，直线OP的斜率为
，所以直线
的斜率为
，可设直线
的方程为
，由
，消去
，并整理，得
　……6分

因为动直线
与椭圆C交于不同的两点,所以
,解得
…7分

设
，则