高二理科数学下学期期末联考试卷

命题：洪都中学罗军林 2013-06-24

总分：150分 考试时间：120分钟 共21题

一、选择题：(每题5 分共50分)

1．
张不同的电影票全部分给
个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是( )

A．
B．
C．
D．

2．下列命题中，正确的一个是 （ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

3．已知直线
及平面
，下列命题中的假命题是 ( )

A．若
，
，则
. B．若
，
，则
.

C．若
，
，则
. D．若
，
，则
.

4．把
二项式定理展开，展开式的第
项的系数是（ ）

A．
B．
C．
D．

5.下表是某厂1—4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：

月份x

1

2

3

4



用水量y

4.5

4

3

2.5



由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程式＝－0.7x＋a，则a等于(　　)

A．10.5 B．5.15　 C．5.2　 D．5.25

从4台甲型电脑和5台乙型电脑中任取3台，其中两种电脑都要取，则不同的取法种数是（ ）

（A）140 （B）84 （C）70 (D)35

7.设x＞0，P＝2x+2－x，Q＝1+2x-x2，则 （ ）

A．P≥Q B．P≤Q C．P＞Q D．P＜Q

8.在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，PA⊥平面ABCD，且PA=1，则P到对角线BD的距离为（ 　 ）

A．
B.
C.
D.

9．对任意实数
, 若不等式
恒成立, 则实数
的取值范围是 ( )

A k≥1 B k >1 C k≤1 D k <1

10．抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这些试验成功，则在10次试验中，成功次数ξ的期望是 ( )

A.
B.
C.
D.

二、填空题(每题5 分共25分)

11．在用反证法证明命题时“△
中,若
,则
都是锐角”应 假设

；

12．一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示，其中正（主）视图是直角三角形，侧（左）视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是 　　　　 cm3。

13．
的展开式中
的项的系数是　　　　　　．

14．四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案的总数是_________

15．已知
，
，
，则
的最小值是　　　　　　．

三、解答题（本大题共6小题，满分75分．解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

16.（.本小题满分12分） 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是
，（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（2）求这名学生在上学路上恰好两个路口遇到遇到红灯的概率；

17.（.本小题满分12分）设p:实数x满足
, ,命题
实数
满足.|x-3|<1

(Ⅰ)若
且
为真，求实数
的取值范围；

(Ⅱ)若其中
且
是

的充分不必要条件,求实数a的取值范围.

18.（.本小题满分12分）已知x,y,z是周长等于1的三角形ABC的三边，

（1）求证:(1-x)(1-y)(1-z)≥8xyz (2)求证:x2+y2+z2≥1/3

19 。（.本小题满分12分）如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，且PA=AD=1,AB=2,
,
.

(1)求证：平面
平面
；

(2)求三棱锥D－PAC的体积；

(3)求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值．

20.（.本小题满分13分）某教学研究机构准备举行一次使用北师大数学教材研讨会，共邀请50名一线教师参加，各校邀请教师人数如下表所示：

学校

A

B

C

D



人数

20

15

5

10



（Ⅰ）从50名教师中随机选出2名，求2人来自同一学校的概率；

（Ⅱ）若会上从A，B两校随机选出2名教师发言，设来自A校的教师人数为
，求随机变量
的分布列和数学期望.

21．（.本小题满分14分）某工厂有旧墙一面长14米,现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126　　米2的厂房，工程条件是：①建1米新墙的费用为a元；②修1米旧墙的费用为a/4元；③拆去1米旧墙用所得材料建1米新墙的费用为a/2元.经过讨论有两种方案：⑴利用旧墙的一段x(x<14)米为矩形厂房的一面边长；⑵矩形厂房的一面长为x(x≥14).问如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省？⑴⑵两种方案哪种方案最好？

高二理科数学期末考试参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

C

D

D

D

C

C

B

D

D



11．△
中,
不都是锐角 12、
13、 -120

14 、 36 15、 9+6

16．（1） p1=2/3*2/3*1/3=4/27 (2)p2=6*(1/3)2*2/3=8/27

17. 解:1. 由
得
当
时，1<
,即
为真时实数
的取值范围是1<
.由|x-3|<1, 得-1

(Ⅱ) 由
得
，
是
的充分不必要条件，即


,且


, 设A=
,B=
,则


,

又A=
=
, B=
={x|x≥3或x≤2}，

则0<
,且3a≥3所以实数
的取值范围是1≤a≤2

18.依题知 x,y,z是正数，且x+y+z=1代入

（1）左=(1-x)(1-y)(1-z)=（y+z）(x+z)(x+y)≥2
2
2
=8xyz (2)要证:x2+y2+z2≥1/3即证3（x2+y2+z2）≥1，x+y+z=1代入即证3（x2+y2+z2）≥（x+y+z）2，展开后即证

x2+y2+z2≥xy+yz+zx,由x2+y2≥2 xy，y2+z2≥2yz x2+z2≥2zx，再 同向相加得证。

19. (1)证明：∵ABCD为矩形

∴
且
……… 1分

∵
∴
且
……… 2分

∴
平面
,又∵
平面PAD

∴平面
平面
……… 4分

(2) ∵
……… 5分

由（1）知
平面
，且
∴
平面
……… 7分

∴

……… 9分

（3）解法1：以点A为坐标原点，AB所在的直线为ｙ轴建立空间直角坐标系如

右图示，则依题意可得
,
,

可得
, ……… 11分

平面ABCD的单位法向量为
，

设直线PC与平面ABCD所成角为
，

则
……… 13分

∴
，即直线PC与平面ABCD所成角的正弦值
.……… 14分

20．【解】（I）从50名教师随机选出2名的方法数为
……3分

选出2人来自同一校的方法数为

故2人来自同一校的概率为：
……6分

（II）∵
，
，

．……9分

0

1

2



P









∴
的分布列为

……10分

∴
． ……12分

21．解：设总费用为y元，利用旧墙的一面矩形边长为x米，则另一边长为126/x米。

⑴若利用旧墙的一段x米(x<14)为矩形的一面边长，则修旧墙的费用为x?a/4元，剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14－x)?a/2元，其余的建新墙的费用为(2x+ 2?126/x－14)?a元，故总费用

　

当且仅当x＝12时等号成立，∴x＝12时ymin=7a(6－1)=35a。

⑵若利用旧墙的一段x米(x≥14)为矩形的一面边长，则修旧墙的费用为x?a/4元，建新墙的费用为(2x+ 2?126/x－14)?a元，故总费用

设f(x)=x+126/x, x2>x1≥14，则f(x2)－f(x1)= x2+126/x2－(x1+126/x1)

=(x2―x1)(1―126/x1x2)>0∴f(x)=x+126/x在［14，＋∞)上递增，∴f(x)≥f(14)

∴x=14时ymin=7a/2+2a(14+126/14－7)=35.5a

综上所述，采用方案⑴，即利用旧墙12米为矩形的一面边长，建墙费用最省。