宝应县12-13学年度第二学期期中考试

高二数学试卷

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）

1. 复数
的实部是 ▲ .

2. 命题“若是锐角，则
”的否命题是 ▲ .

3. “
”是“
”的 ▲ 条件.

(填“充要”或“充分不必要”或“必要不充分”或“既不充分也不必要”)

4. 命题“有的三角形的三个内角成等差数列”的否定是 ▲ .

5. 已知为虚数单位，则
▲ .

6. 当
无限趋近于0时，则
无限趋近于 ▲ .

7. 若将推理“四边形的内角和为
，所以平行四边形的内角和为
”改为三段论的形式，

则它的小前提是 ▲ .

8. 在复平面内，向量
、向量
对应的复数分别为
、
，若
的模为
，

则实数的值为 ▲ .

9. 曲线
在
处的切线的斜率为 ▲ .

10. 函数
的单调增区间是 ▲ .

11. 函数
的极小值为
，则实数的值为 ▲ .

12. 已知
，则
= ▲ .

13. 已知圆的方程为
，则经过圆上一点
的切线方程为
，类比上述性质，可以得到椭圆
上经过点
的切线方程为 ▲ .

14. 若函数
存在单调减区间，则实数的取值范围是 ▲ .

二、解答题 (共6道题，计90分)

15、（本题满分14分）

求证：

16、（本题满分14分）

设
，

求函数
的单调递增、递减区间；

若函数
在区间
上的最大值与最小值的和为5，求实数的值.

17、（本题满分15分）

已知复数
满足：
. 复数
满足：
.

求复数
，
；

在复平面内，O为坐标原点，记复数
，
对应的点分别为A , B. 求△OAB的面积.

18、（本题满分15分）

如图，煤场的煤堆形如圆锥，设圆锥母线与底面所成的角为.（为常数）

高
与底面半径有什么关系？

传输带以
往煤场送煤形成新的煤堆，求当半径
时的对于时间的变化率.

（参考数据：取3.14，
，为计算方便可取
，
）

19、（本题满分16分）

已知: 命题
“对
，
”；命题
“函数
在
上是增函数”.若“或”为真命题，“且”为假命题. 求实数的取值范围.

20．（本题满分16分）

已知函数

(1) 求函数
在点
处的切线方程；

(2) 求函数
的单调区间；

(3) 若存在
，使得
(是自然对数的底数)，求实数的取值范围.

201304高二数学期中试题参考答案

阅卷前，请认真核做答案，制定评分细则。

填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）

1、
　2、若不是锐角，则
　　

3、必要不充分 　4、 任意三角形的三个内角不成等差数列

5、0 6、
7、平行四边形是四边形 8、6或－2 　9、
10、
或写成
　 11、

12、－3 13、
14、

二、解答题 (共6道题，计90分)

15、（本题满分14分）

解：要证：
　

只要证：
………………………4分

因为，上式左右两边均大于0 （注：不交待扣1分）

所以，只要证：
………………………6分

即证：
………………………8分

只要证：
，也就是
………………………10分

而
显然成立， ………………………12分

所以，原不等式成立。得证。 ………………………14分

说明：用综合法书写，参照给分。

16、（本题满分14分）

解：（1）
………………………2分

令
得
或

当
或
时，
当
时，
………………………4分

所以，函数
的单调递增区间是
，
； ………………………6分

函数
的单调递减区间是
………………………7分

（2）由（1）知，
在区间
上的极大值为
，

极小值为
， ………………………9分

而
，

所以，
在
上的最大值为
，最小值为
，………12分

由题意得，
，∴
………………………14分

17、（本题满分15分）

解：（1）由
得
，所以可设
………………2分

∴
， 解得
∴
………………4分

而
，∴
………………7分

（2）由（1）知，
又

由
得，
………………11分

∴
, ∴
………………13分

∴△OAB的面积
………………15分

说明：如果用解几的方法求得面积，参照给分。

18、（本题满分15分）

解：(1) 由题意知，
，∴
………………2分

(2) 记min时煤堆的体积为
，

则
① ………………4分

∴
② ………………5分

②式两边对求导，得
③………………7分

(注：①式两边对求导，同样可得，只不过是隐函数求导了，教师可以作此理解)

设
时对应的时刻为
，由①得

∴
………………10分

代入③式得，

………………15分

19、（本题满分16分）

解：∵
，∴

当
时，
在
上递减，在
上递增

∴
在
上的最小值为
………………3分

∴命题
“对
，
”为真时，的取值范围为

………………6分

又，函数
的定义域为
，且
为偶函数

当
时，
，

当
时，
当
时，

所以，
的单调增区间为
和
； ………………8分

其单调减区间为
和

∴命题
“
在
上是增函数”为真时，的取值范围为

………………9分

而由“或”为真命题，“且”为假命题，得，中只能是一真一假. ……10分

若真而假，则的取值范围是“
”且“
或
”，

得
……………12分

若假而真，则的取值范围是
且
，得

……………14分

所以，所求的取值范围为
或
……………15分

20、（本题满分16分）

解：(1) 因为函数
，

所以
，
， ………………………………2分

又因为
，所以函数
在点
处的切线方程为
． …………4分

(2) 由(1)知，
．

因为当
时，总有
在上是增函数， …………………8分

又
，所以
的解集为
，
的解集为

故函数
的单调增区间为
，单调减区间为
…………10分

(3) 因为存在
，使得
成立，

而当
时，
，

所以只要
即可． ……………………………12分

又因为，
，
的变化情况如下表所示：





















减函数

极小值

增函数



所以
在
上是减函数，在
上是增函数，所以当
时，
的最小值
，
的最大值
应为
和
中的最大值．

因为
，

令
，因为
，

所以
在
上是增函数．

而
，故当
时，
，即
；

当
时，
，即
． ………………………14分

所以，当
时，有
，即
，

又函数
在
上是增函数，解得
；

当
时，
，即
，

函数
在
上是减函数，解得
．

综上可知，所求的取值范围为
． …………………16分