注意事项：

答卷前，请考生务必将
自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．

2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）

1．函数
的最小正周期是 ▲ ．

2．复数
的虚部是 ▲ ．

3．直三棱柱
中，若
， 则
▲ ．

4．
中，“
”是“
”的 ▲ 条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空）．

5．幂函数
过点
，则
▲ ．

6．五名同学站成一排，甲不站在正中间，则不同的站法有▲ （用数字作答）．

7．如果复数
满足
，那么
的最大值是 ▲ ．

8．函数
的单调递增区间是 ▲ ．

9．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是
，遇到红灯时停留的时间都是2 min．，则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间恰好是4min的概率 ▲ ．

10．若
则
▲ ．

11．E，F是等腰直角△ABC斜边BC上的四等分点，则
= ▲ ．



二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本小题满分14分）

已知
均为锐角，且
，
．

（1）求
的值； （2）求
的值．

16．（本小题满分14分）

已知函数
，
．

（1）若
，求证：函数
是
上的奇函数；

（2）若函数
在区间
没有
零点，求实数
的取值范围．

[来源:Zxxk.Com]

17．（本小题满分14分）

已知命题：“
，使等式
成立”是真命题，

（1）求实数m的取值集合M；

（2）设不等式
的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，

求a的取值范围．

18．（本
小题满分16分）

设函数
的定义域为
，值域为
．

（1）若
，判断实数
与集合
的关系
；

（2）若
，
，求实数
的值．

（3）若
，
，求
的值．

[来源:学科网]

19．（本小题满分16分）

阅读
下面材料：

根据两角和与差的正弦公式，有

------①

------②

由①+② 得
------③

令
有

代入③得
．

(1) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:

;

(2) 若
的三个内角
满足
,直接利用阅读材料及(1)中的结论试判断
的形状．

20．（本小题满分16分）

已知函数

（1）讨论函数
的单调性；

（2）若
时，关于
的方程
有唯一解，求
的值；

（3）当
时，证明: 对一切
，都有
成立．

2012-2013学年度第二学期高二期末调研测试

数 学 （理科）试 题Ⅱ

（全卷满分40分，考试时间30分钟）

2013．06

21、已知
的展开式中第3项与第2项系数的比是4，

（1）求n的值；

（2）展开式里所有x的有理项

22、一个盒子里装有3张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4；另一个盒子也装
有3张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5．现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量
，

（1）

求事件
发生的概率

（2）求
的分布列和数学期望．

23、已知数列
满足
，且

(
)．

⑴求
的值，并猜想
的通项公式；

⑵用数学归纳法证明你的猜想．

2013年6月高
二期末调研测试

理 科 数 学 试 题 参 考 答 案

数学Ⅰ试题参考答案
与评分标准

一、填空题：

二、解答题：[来源:Zxxk.Com]

15．

16解：（1）若
为真，则不等式
对
恒成立，得
，故
为假时实数
的范围是
；………………………………6分

（2）

,即


是
的必要条件,

是
的充分条件,
不等式
对
恒成立 ……………………………………10分
对
恒成立,
,当且仅当
时,等号成立
.……………………………14分

17．解：（1 ）定义域为
关于原点对称．因为
，

所以函数
是定义在
上的奇函数

（2）

是实数集
上的单调递增函数（不说明单调性扣2分）又函数
的图象不间断，在区间
恰有一个零点，有

即
解之得
，故函数
在区间
没有零点时，实数
的取值范围是
………………………………………14分

（3）∵
是偶函数，且
，则函数
在
上是减函数，在
上是增函数．∵
，∴由题意可知：
或
．若
，则有
，即
，整理得
，此时方程组无解；若
，则有
，即
，∴
为方程
，的两个根．∵
，∴
，∴
，
．……………16分

19. 解： (1)证明:因为
，------①

②

①-② 得
③…[来源:Z.xx.k.Com]

令
有
，

代入③得
.………………8分

（2）由
得：
。由（1）中结论得：
。所以
，即：
，又
为
的三个内角，故
，所以
是直角三角形。………………………………………………16
分

20. 解：（Ⅰ）当
时，
，则
。

解得
……………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①当
时，
，
令
得

当
变化时，
的变化情况如下表：



0






[来源:学科网ZXXK]





—

0

+[来源:学科网]

0

—






单调递减

极小值

单调递增

极大值


单调递减




又
，
，
。∴
在
上的最大值为2.

②当
时,
.当
时,
,
最大值为0；

当
时,

在
上单调递增。∴
在
最大值为
。

综上，
当
时，即
时，
在区间
上的最大值为2；

当
时，即
时，
在区间
上的最大值为
。[来源…10分:Z&xx&k.Com][来源:Z§xx§k.Com]

数学Ⅱ试题参考答案与评分标准

21、解：（1）由题设，得
， ………………………………3分

即
，解得n＝9，n＝0（舍去）．…………………………4分

（2）通项
（

根据题意：
，解得
3或9 …………………………8分

展开式里所有x的有理项为
…………………………10分

23、解：（1）由
得
，求得
，
，
， 猜想
……5分

(2) 证明：①当
时，猜想成立。

②设当
时
时，猜想成立，即
，

则当
时，有
,

所以当
时猜想也成立

综合①②，猜想对任何
都成立。 ……10分

24、解：如图建系：可得
,
,
,
.

（1）设
，
,

则


；
，

设
与平面
所成角为
，

=

则
与平面
所成角的正弦值为
．…………………………
（5分）