2013滁州市高级中学联谊会高二第二学期期末联考

数学（理科）试题参考答案

6.D 解析: //

,
与平面α所成的角相等,必要条件成立;当,
为圆锥的两条母线时, ,
与平面α所成的角相等,但,
不平行,充分条件不成立.

7. A 解析：易知
的展开式中，
的系数分别是10，5，所以
的展开式中
的系数是
，所以
，解得
．令
中的
，即可得展开式中所有项系数的和，因此有
．

8.C 解析：此几何体为一个圆柱内挖去一个正四棱锥得到的，圆柱的底面半径为2，高为6，所以体积为
，正四棱锥的底面边长为
，高为6，所以体积为
，所以该几何体的体积为
．

9.D 解析：由
得
，又结合正弦定理可得
，所以该三角形为非等边的等腰三角形.

10.D 解析：结构不同的“和谐棱锥”的棱长共有
种形式：
；
；此种情形不能构成三棱锥；
；此种情形不能构成三棱锥；
；只存在一个是以
边长为等边三角形的三棱锥；
；此种情形的两个
只能是异面的时候才符合题意；
；
．仅有一个面是等边三角形的“和谐棱锥”只有一个，故概率为
．

11.
解析：从0开始每次递增400，直到
时，退出循环，输出的值
.

12.18 解析：样本的平均数为23，所以样本方差为

13.4 解析：∵a⊥b，∴a·b＝2(x－1)＋y＝0. 即2x+y=2,∴4x＋2y≥2＝4，当且仅当2x=y=1时等号成立.

14.
或
解析：由题意：
根据
得
或
又由
的面积得：

当
时，点在双曲线的左支上，
此时

当
时，点在双曲线的右支上，
此时
.

15.①④⑤ 解析：因为函数
的定义域为，且
，所以
是奇函数，故①正确；又
，当
时，
，，当
时，
，故函数
在
上单调递减，在
上单调递增，故②错误；对于③，结合②的单调性情况，又
，
，所以奇函数
在
上共有3个零点；对于④，结合①和②的探究发现，函数
是在
上单调递减的奇函数，所以
，故
，故④正确；对于⑤，构造函数
，
，结合②的单调性情况，当
，即
，，当
，即
，说明函数
在
上递减，在
上递增，所以对于
，有
，即
，故⑤正确.综上，答案是①④⑤.

16.解析：(Ⅰ)由已知得
，故
，……………2分

将
的图象向左平移
个单位，得到

，

又
，所以
，
，所以
．………………4分

令

，所以

所以
的单调递增区间为
．…………………6分

（Ⅱ）因为
在区间
上为递增函数，在区间
上为递减函数，又
，
，
.

故
在区间
上的最大值为
，最小值为
． ……………………….12分

17.解析：(Ⅰ)如图,取AD中点O，连接
，则PO⊥AD.

因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO⊥平面ABCD，所以

又

所以
.所以
.

又

，所以
，所以
.……………………6分

（Ⅱ）方法一:由（Ⅰ）易得
就是二面角P－DQ－A的平面角. ………………8分

,所以
.

所以二面角P－DQ－A的余弦值为
. ……………………12分

方法二:（向量法）建立如图所示的空间直角坐标系，

则点
.

则
. ……………………7分

设
是平面
的一个法向量，

则由
得

取
，得
是平面
的一个法向量. ………9分

而
是平面
的一个法向量, ……………………10分

设二面角P－DQ－A的大小为
，则
.

所以二面角P－DQ－A的余弦值为
. ……………………12分

18.解析：(Ⅰ)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.

依题意，得a－d＋a＋a＋d＝18，解得a＝6. ………………3分

所以{bn}中的b2、b3、b4依次为9－d，12， 21＋d.

依题意，有(9－d)(21＋d)＝144，解得d＝3或d＝－15 (舍去)，

故{bn}的第2项b2=6，公比为2，由b2＝b1·2得b1＝3. ………………6分

所以{bn}是以3为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝3·2n－1. ……………7分

（Ⅱ）数列{bn}的前n项和Sn＝＝3·2n－3，即Sn＋3＝3·2n，

所以S1＋3＝6，＝＝2. ………………9分

因此{Sn＋3}是以6为首项，公比为2的等比数列,所以Tn==3·2n+1-6，

由3·2n+1-6>2013得n≥9,所以所求n的最小值为9.……………12分

19.解析：（Ⅰ）设甲同学答对一个问题的正确率为
，则

故甲同学答对一个问题的正确率
；………………4分

（Ⅱ）
可取3，4，5,则有
，

，

，………………10分

故X的分布列为：

X

3

4

5














. ………………13分

20.解析：（Ⅰ）因为点(1,1)在圆M上，所以切线l的斜率为
，

故切线l方程为
， …………………………………2分

由
，可得
，

又直线l与椭圆相切可得
，整理可得
，

由椭圆的离心率为
，可得
，解得
,

所以椭圆C的方程为
…………………………………6分

（Ⅱ）设点
，由
可得
,

所以四边形AF1F2B的面积
.……………13分

21.解析：（Ⅰ）∵
， ∴
．．．．．．1分

∵函数
在
上为增函数，∴
对
恒成立，

即
对
恒成立，即
对
恒成立，∴
……4分