高二下学期第六次周练数学（理）试题

一、选择题: （本大题共12小题 ，每小题4分 ，共48分 ．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1.若
，
为虚数单位,且
,则复数
在复平面内所对应的点在( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2.下列命题: ①
； ②
；

③
④“
”的充要条件是“
,或
”.

中,其中正确命题的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3

3.在两个变量
与
的回归模型中,分别选择了4个不同的模型,它们的相关指数
分别为:模型1的相关指数
为0.98,模型2的相关指数
为0.80,模型3的相关指数为0.50,模型4的相关指数为0.25.其中拟合效果最好的是( )

A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4

4.等比数列
的各项均为正数，且
，则

5. 由曲线
及直线
所围成的封闭图形的面积是:]B

6.如果实数
满足等式(
－2)2+y2=3，那么
的最大值是（ ）

A．
B．
C．
D．

7．设
在
内单调递增，
，则
是
的（　　）

Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件

Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件

8.函数
的部分图象如图所示，则
＝（ ）

A.6 B.4 C.
D.

9．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x∈ [3，4]时,f(x)=x-2．则 ( )

A．
B．

C．
D.

10．定义域为R的函数
且
，则满足
的x的集合为（ ）

A．
B．
C．
D．

11．若点
和点
分别为椭圆
的中心和左焦点，点
为椭圆上的任意一点，则
的取值范围为























12. 用三种不同的颜色填涂如图
方格中的9个区域，要求每行每列的三个区域都不同色，则不同的填涂种数共有

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

13.二项式
的展开式中含
项的系数是 (用数字作答)

14. 有下列四个命题:

①命题“若
，则
互为倒数”的逆命题

②命题“面积相等的三角形全等”的否命题

③命题“
，则方程
”有实根的逆否命题

④命题“若
，则
” 的逆否命题

其中是真命题的是 (填上你认为正确的命题的序号)



















15.随机变量
的分布列为，其中
、
、
成等差数列，若
，则
=

16．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出

的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是
。

17.
是双曲线
右支上一点，
、
分别是左、右焦点，
是三角形
的内心（三条内角平分线交点），若
，则实数
的值为

18．若在区间（-1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线
与圆
相交的概率为 。　　　

19．下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间
中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段
围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为
，如图3中直线
与x轴交于点
，则m的象就是n，记作
．

下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号)

①
； ②
是奇函数；

③
是定义域上单调函数； ④
的图象关于点
对称．

三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

20.（12分）在
中，角A、B、C的对边分别为
，且满足

（1）求角B的大小；（2）若
，求
面积的最大值.

21. （12分）为了解今年某校高三毕业班准备报考清华大学的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前
个小组的频率之比为
，其中第
小组的频数为
.

（1）求该校报考清华大学的总人数；

（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考清华大学的同学中任选三人，设
表示体重超过60公斤的学生人数，求
的分布列及数学期望.

22．（12分）如图甲，在平面四边形ABCD中，已知

,
,现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD
平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．

(1)求证：DC
平面ABC；

(2)求BF与平面ABC所成角的正弦；

(3)求二面角B－EF－A的余弦．

23．（12分）已知函数

(1)求
的单调减区间和值域；

（2）设
,函数
若对于任意
，总存在
,使得
成立，求
的取值范围.

24. 如图，已知圆
过定点
，圆心
在抛物线
上运动，
为圆
在
轴上所截得的弦.

（Ⅰ）证明：
是定值；

（Ⅱ）讨论抛物线
的准线
与圆
的位置关系；

（Ⅲ）设
是抛物线
的准线
上任意一点，过
向抛物线作两条切线
(切点是
)，判断直线
是否过定点，并证明你的结论.

25. 设函数
．

（Ⅰ）当
时，判断函数
的零点的个数，并且说明理由；

（Ⅱ）若对所有
，都有
，求正数
的取值范围．

20.解：（1）条件可化为：
．根据正弦定理有

． ∴
，

由基本不等式可知
．

即
， 故△ABC的面积
．

即当a =c=
时，△ABC的面积的最大值为
．

21.解：（1）设报考清华大学的人数为
,前三小组的频率分别为
,则由条件可得:

解得

又因为
，故

则
或:

22.（Ⅰ）证明：在图甲中∵
且
∴
，
，
………… (1分)

在图乙中，∵平面ABD
平面BDC ， 且平面ABD
平面BDC＝BD

∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD． …………(3分)

又
，∴DC⊥BC,且
∴DC
平面ABC． …………(4分)

（Ⅱ）解法一：∵E、F分别为AC、AD的中点

∴EF//CD，又由（1）知，DC
平面ABC，

∴EF⊥平面ABC，垂足为点E

∴∠FBE是BF与平面ABC所成的角 ……………(5分)

在图甲中，∵
,

∴
,

设
则
,
，

……………(7分)

∴在Rt△FEB中，

即BF与平面ABC所成角的正弦值为
． …………(8分)

解法二：如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示，

设
，则

，
…………(5分)

可得
,
,
，
，

∴
,
……………(6分)

设BF与平面ABC所成的角为
，由（1）知DC
平面ABC

∴

∴
…………(8分)

（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知 FE⊥平面ABC，又∵BE
平面ABC，AE
平面ABC，

∴FE⊥BE，FE⊥AE，∴∠AEB为二面角B－EF－A的平面角 …………(10分)

在△AEB中，

∴

即所求二面角B－EF－A的余弦为
． …………(12分)

23.（1）对函数f(x)求导，得f'(x)=

令f'(x)=0解得x=
或x=
．

所以，当x∈(0，
)时f(x)是减函数；

当x∈(
，1)时f(x)是增函数．

∴当x∈[0，1]时f(x)的值域为[-4，—3]．

（2）对函数g(x)求导，得g'(x)=3(x2-a2)．

因为a≥1时，当x∈(0，1)时，g'(x)<3(1-a2)<0．因此当x∈(0，1)时，g(x)为减函数，从而求出
时，有
。任意
。存在
使得
，则
即
解得

24．解: （Ⅰ）设
,则
,

则圆
的半径

,则圆
的方程为

,………… 2分

令
,并将
代入得
,

解得
,
为定值. ………… 4分

（Ⅱ）圆心
到抛物线准线
:
的距离为
,

则
………… 6分

所以，当
时，
，抛物线
的准线
与圆
相交；

当
时，
，抛物线
的准线
与圆
相切；

当
时，
，抛物线
的准线
与圆
相离. ………… 9分

（Ⅲ）设切点为
，由
，则切线为
，

所以
消去t可得，
.…………12分

又
，所以直线
的方程是

即
，…………13分

把
，代人得
，故直线
是过定点
.…… 15分

另解：直线
是过定点
，即