高二上学期期末考试数学（理）试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。

1．
是虚数单位,复数
（　　）

A．
B．
C．
D．

2．已知命题
，
，则（　　）

Ａ．
，
Ｂ．
，

Ｃ．
，
Ｄ．
，

3．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ ）

A.（0，＋∞） B.（0，2） C.（1，＋∞） D.（0，1）

4．下面命题中，正确命题的个数为(　 )

①若n1、n2分别是平面α、β的法向量，则n1∥n2?α∥β；

②若n1、n2分别是平面α、β的法向量，则α⊥β?n1·n2＝0；

③若n是平面α的法向量，b、c是α内两不共线向量a＝λb＋μc，(λ，μ∈R)则n·a＝0；

④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．已知函数f (x)的导函数
的图象如右图所示，

那么函数f (x)的图象最有可能的是( )

6已知x>0，由不等式x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，…，我们可以得出推广结论：x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝(　　)

A．2n　　　　　　　　　 B．n2

C．3n D．nn

7．设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，P点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围(　　)

A.∪ B.∪

C. D.

8如图给出的是计算
的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是……（ ）

（A）
；（B）
；

（C）
；（D）
.

9．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝(　　)

A.　　　 B.　 C. 　　　 D.

10．双曲线的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆的位置关系为(　　)

A．相交 B．相切 C．相离 D．以上情况都有可能

11．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0,当x>0时，有
恒成立，则不等式
的解集是 ( )

(A) (-2,0) ∪(2,+∞) (B) (-2,0) ∪(0,2) (C) (-∞,-2)∪(2,+∞) (D) (-∞,-2)∪(0,2)

12．设椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)(　　)

A．必在圆x2＋y2＝2上 B．必在圆x2＋y2＝2外

C．必在圆x2＋y2＝2内 D．以上三种情形都有可能

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线

13.．函数
在
上单调递增，则实数a的取值范围是 .

14．在平面直角坐标系中，A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长度为________．

15．设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的左、右焦点，若△PF1F2的面积为12，则∠F1PF2等于________．

16.下列四个命题中，正确的命题序号是 　　

⑴对于函数
，
是
的极小值，
是
的极大值；

⑵设回归直线方程为y=2-2.5x，当变量
增加一个单位时，
平均增加
个单位；

⑶已知平面向量
，则向量

;

⑷已知P,Q为抛物线
上两点,点P, Q的横坐标分别为4,
2,过P、Q分别作抛物线的切线,两切线交于A,则点A的纵坐标为
4.

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.投掷一个质地均匀，每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是
，两个面的数字是2，两个面的数字是4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标.

（Ⅰ）求点P落在区域
上的概率；

（Ⅱ）若以落在区域
上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率.

18. 在平面直角坐标系
O
中，直线
与抛物线
＝2
相交于A、B两点。

（Ⅰ）求证：命题“如果直线
过点T（3，0），那么
＝3”是真命题；

（Ⅱ）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。

19． 把边长为a的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝)，设容器的高为x，容积为
.

（Ⅰ）写出函数
的解析式，并求出函数的定义域；

（Ⅱ）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积.

20．如图，在底面是正方形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．

（Ⅰ）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由；

（Ⅱ）当二面角B－PC－D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．

21. （本小题满分12分）

如图，设
是圆
上的动点，点D是
在
轴上的投影，M为
D上一点，且

（Ⅰ）当
的在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为
的直线被C所截线段AB的长度

22.（本小题满分12分）

设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.

（Ⅰ）若a＝，求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．

参考答案

17.解：（Ⅰ）点P的坐标有：

解法二：设直线l的方程为my=x－3与y2=2x 联立得到y2-2my-6=0
=x1x2+y1y2

=(my1+3) (my2+3)+ y1y2=(m2+1) y1y2+3m(y1+y2)+9=(m2+1)× (-6)+3m×2m+9＝3

（Ⅱ）逆命题是：“设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果
,那么该直线过点T(3,0).”该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点A(2,2),B(
,1),此时
,

直线AB的方程为y=
(x+1),而T(3,0)不在直线AB上.

点评：由抛物线y2=2x上的点A(x1,y1)、B(x2,y2)满足
,可得y1y2=－6。或y1y2=2，如果y1y2=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2, 可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0)。

19. 解：（Ⅰ）因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为

则
，函数的定义域为
.

（Ⅱ）实际问题归结为求函数
在区间
上的最大值点.

先求
的极值点.

在开区间
内，

令
，即令
，解得
.

因为
在区间
内，
可能是极值点. 当
时，
；

当
时，
.

因此
是极大值点，且在区间
内，
是唯一的极值点，所以
是
的最大值点，并且最大值

即当正三棱柱形容器高为
时，容器的容积最大为
.

即＝，∴＝，∴a＝1，

∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，

∴tan∠PCA＝＝＝.

21.【解析】：（Ⅰ）设M的坐标为
坐标为

由已知得


在圆上，
即C的方程为