临汾一中2012-2013学年高二下学期期中考试数学理试题 (考试时间120分钟 满分150分)

命题人：李欲晓 审题人：古跃宏

第Ⅰ卷(选择题 60分)

选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．

1. 5名员工计划在五一的三天假期中选择一天出游，不同的方法种数是（ ）

A.
B.
C.
D.

2. 若x为自然数,且
,则
等于（　 ）

A.
B.
C.
D.

3. 用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )

A. a，b都能被5整除 B. a，b都不能被5整除

C. a，b不都能被5整除 D. a不能被5整除

4. 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务的不同选法有 ( )

A．1260种 B．2025种 C．2520种 D．5040种

5. 设Z＝
为实数时，实数a的值是（ ）

A. 3 B.－5 C.3或－5 D.－3或5

6. 在某一试验中事件A出现的概率为
，则在
次试验中
出现
次的概率为（ ）

A . 1－
B.

C. 1－
D.

7. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示，

则导函数y=f ((x)可能为（ ）

8. 某学生解选择题出错的概率为
，该生解三道选择题至少有一道出错的概率是（ ）

A.
B.

C.
D.

9. 4名学生被人大、清华、北大录取，若每所大学至少要录取1名，则共有不同的录取方法（ ）

A．72种 B．36种 C．24种 D．12种

10. 设（2
+
）
=
则
值为 ( )

A. 16 B. －16 C. 1 D. －1

11．设
，则二项式
的展开式中
项的系数为（ ）

A．－192 B．193 C．－6 D．7

12．如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，

它们是由整数的倒数组成的，第
行有
个数且两端

的数均为

，每个数是它下一行左右相邻两数

的和，如
，
，
，…，

则第10行第4个数（从左往右数）为（ ）

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷 （非选择 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．

13．一盒子中装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样．设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，则P(B|A)=

ξ

-1

0

1



P

0.5

1
q

q2



14. 设
是一个离散型随机变量，其分布列如右表:则q=

15．用0到9这10个数字，可以组成 个无重复数字的三位偶数．

16.已知
，
都是定义在R上的函数，
，
，

，且
，
，在有穷数列

…
中，任意取正整数
，则前
项和大于
的概率是

三、解答题：共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分10分） 现有5名男生和3名女生．

(1)若3名女生必须相邻排在一起，则这8人站成一排，共有多少种不同的排法?

(2)若从中选5人,且要求女生只有2名, 站成一排，共有多少种不同的排法?

18.（本小题满分12分）在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个。现从盒子中每次任意取出一个球，若取出的是蓝球则结束，若取出的不是蓝球则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球次数最多不超过3次。求：

（1）取两次就结束的概率；

（2）正好取到2个白球的概率．

19. （本小题满分12分） 在人寿保险业中，要重视某一年龄的投保人的死亡率，经过随机抽样统计，得到某市一个投保人能活到75岁的概率为0.60，试问：

（1）若有3个投保人, 求能活到75岁的投保人数
的分布列；

（2）3个投保人中至少有1人能活到75岁的概率.（结果精确到0.01）

20．（本小题满分12分） 已知
是
内任意一点，连结
并延长交对边于
，
，
，则
.这是平面几何的一个命题，其证明常常采用“面积法”：
.

运用类比，猜想对于空间中的四面体
，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．

21．（本小题满分12分） 已知函数
（e为自然对数的底数）．

（1）求函数
的单调增区间；

（2）设关于x的不等式
≥
的解集为M，且集合
，求实数t的取值范围．

22. （本小题满分12分） 设曲线
在点
处的切线斜率为
,且
.对一切实数
,不等式
恒成立(
≠0).

(1) 求
的值；

(2) 求函数
的表达式；

(3) 求证:
＞
．

临汾一中2012-2013学年度第二学期高二年级期中考试

数学试题答案（理科）

(考试时间120分钟 满分150分)

命题人：李欲晓 审题人：古跃宏

第Ⅰ卷(选择题 60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

B

B

C

A

D

D

C

B

A

A

B



第Ⅱ 卷 （非选择 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。

13．
14、
15．328 16.

18.解：（1）取两次的概率
………5分

答: 取两次的概率为
………………6分

（2）由题意知可以如下取球：红白白、白红白、白白红、白白蓝四种情况，…7分

所以恰有两次取到白球的概率为

.…………………11分

答: 恰有两次取到白球的概率为
………………….12分

21．解：（1）∵
，
．………………1分

当
时，有
在R上恒成立；………………3分

当
时，由
可得
．………………5分

综上可得，当
时，函数
的单调增区间为
；

当
时，函数
的单调增区间为
．………………6分

（2）由不等式
≥
即
的解集为M，且
，可知，对于任意
，不等式
即
恒成立．…………7分

令
，
．…………8分

令
，
， ………………9分

当
时，
，即
，………………10分

∴
，即
时，
为增函数，

∴
．…………………………………11分

∴
． ∴实数
的取值范围是
． ……………………12分

（3）

要证原不等式，即证

因为

所以

=

所以


…………………………………………12分

本小问也可用数学归纳法求证。证明如下：

由

当
时，左边=1，右边=
，左边>右边，所以
，不等式成立

假设当
时，不等式成立，即

当
时，

左边=

由

所以

即当
时，不等式也成立。综上得
。