一、选择题（每小题5分，共60分）

1.“因指数函数
是增函数（大前提）,而
是指数函数（小前提），所以
是增函数（结论）”，上面推理的错误是（ ）

A.大前提错导致结论错 B.小前提错导致结论错

C.推理形式错导致结论错 D.大前提和小前提都错导致结论错

2.已知i是虚数单位，则
= （ ）

A .1-2i 　　　　　B.2-i 　　C.2+i D .1+2i

3.在用数学归纳法证明等式
时，当
时的左边等于（　　）

Ａ.1 Ｂ.2 Ｃ.3 Ｄ.4

4.函数
在[0，3]上的最大值，最小值分别是（ ）

A．5，-15 B．5，-4 C．-4，-15 D．5，-16

5.用反证法证明命题“
，如果
可被5整除，那么，至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（　　）

Ａ．，都能被5整除 Ｂ．，都不能被5整除

Ｃ．不能被5整除 Ｄ．，有1个不能被5整除

6.函数
的极值情况是( )

A.有极大值2,极小值-2 B.有极大值-2,极小值2

C.无极大值,但有极小值-2 D.有极大值2,无极小值.

7. 把正整数按下图所示的规律排序，则从2003到2005的箭头方向依次为 ( )

8.函数
处的切线方程是（　 ）

A.
B.
C.
D.

9.设函数
，则（ ）

A.
为
的极大值点 B.
为
的极小值点

C.
为
的极大值点 D.
为
的极小值点

10. 计算定积分
（ ）

A．
B．
C．
D．

11.若曲线C:
上任意点处的切线的倾斜角都是锐角,那么整数=( )

A.-2 B.0 C.1 D.-1

12.设函数
在R上可导，其导函数为
，且函数
的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）

（A）函数
有极大值
和极小值

（B）函数
有极大值
和极小值

（C）函数
有极大值
和极小值

（D）函数
有极大值
和极小值

二、填空题（每小题5分，共20分）

13.若
，其中
为虚数单位，则

14.已知
，则k = _________.

15. 用数学归纳法证
的过程中，当n=k到n=k+1时，左边所增加的项为______________ 。

16.右图是函数
的导函数
的图象，给出下列命题：

①
是函数
的极值点；

②
是函数
的最小值点；

③
在
处切线的斜率小于零；

④
在区间
上单调递增. 则正确命题的序号是

三、解答题（第17题10分，第18--22题每题12分，共70分）

17.复数z =
＋（
）i，

求：⑴当实数m取什么值时，z是纯虚数； ⑵当实数m取什么值时，z是实数

18.用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？



19.在△ABC中，角A、B、C成等差数列。边a、b、c成等比数列，求证△ABC为等边三角形。

20.已知函数
=
在x＝1处取得极值2． （Ⅰ）求函数
的解析式；

（Ⅱ）实数
满足什么条件时，函数
在区间
上单调递增？

21.设
（1）求
的值；

（2）归纳{
}的通项公式，并用数学归纳法证明。

22.已知
是函数
的一个极值点。

（Ⅰ）求； （Ⅱ）求函数
的单调区间；

（Ⅲ）若直线
与函数
的图象有3个交点，求
的取值范围。

参考答案

17.解：⑴由复数
＋（
）i是纯虚数,有
所以m=3

⑵由题意
得m=-1，或m=-2

18、解：设该容器的高为xcm。容器的容积为ycm3。依题意有y=(90－2x)(48－2x)x (0

即y=4(x3－69x2+1080x) ∴
=4(3x2－138x+1080)=12(x－10)(x－36)=0

∴x=10 x=36(舍去) ∴当高为10cm时，容器的容积最大，最大容积是19600cm3

19.详见课本85页“例1”。

20.解：(Ⅰ)已知函数
=
，
.

又函数
在x=1处取得极值2，

即


.

(Ⅱ)由
.

x





(－1，1)

1







－

0

+

0

－





单调递减

极小值－2

单调递增

极大值2

单调递减



所以
的单调增区间为
.

若函数
在区间
上单调递增，则有
解得

即
时，函数
在区间
上单调递增.

21 解：（1）
…

（2）根据计算结果，可以归纳出
……….. 6分

证明：① 当n=1时,
与已知相符，归纳出的公式成立。……8分

② 假设当n=k(
)时，公式成立，即
那么,

所以，当n=k+1时公式也成立。…………………11分

由①②知，
时，有
成立。………….12

22.【解】：（Ⅰ）因为
， 所以

因此

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，

当
时，
；当
时，

所以
的单调增区间是
，单调减区间是

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
在
内单调增加，在
内单调减少，在
上单调增加，且当
或
时，

所以
的极大值为
，极小值为

因此

所以在
的三个单调区间
直线
有
的图象各有一个交点，当且仅当
，因此，
的取值范围为
。