绝密★启用前

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

题号

一

二

三

四

五

总分



得分















注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请修改第I卷的文字说明

评卷人

得分











一、单项选择





1. 若2＋ai＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a2＋b2＝(　　)

A．0 B．2

C.
D．5

2. 已知i是虚数单位,则复数
的虚部等于 ( )

A.
B.
C. D. 1

3. 由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的平面图形的面积为(　　)

A.
B．2－ln3

C．4＋ln3 D．4－ln3

4. 正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理(　　)

A．结论正确

B．大前提不正确

C．小前提不正确

D．全不正确

5. 若函数
的图象在
处的切线
与圆
相离,则点
与圆C的位置关系是 ( )

A.点在圆外 B.点在圆内 C.点在圆上 D.不能确定

6. 函数
有（ ） A.极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3

C.极小值-1，极大值3 D. 极小值-2，极大值2

7. 如图中阴影部分的面积是 （ ）

A．
B．
C．
D．

8. 平面上有个圆,其中每两个都相交于两点,每三个都无公共点,它们将平面分成
块区域,有
,则
( )

A.
B.

C.
D.

9. 已知复数
,则复数的共轭复数为( )

A.
B.
C.
D.

10. 下列函数中,在
上为增函数的是 （ ）

A．
B．

C．
D．

11. 已知复数
和复数
,则
为( )

A.
B.

C.
D.

12. 设复数满足
,则
( )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

请修改第II卷的文字说明

评卷人

得分











二、填空题





13. 若函数
、
都是奇函数，
在
上有最大值5，则
在
上有最小值__________。

14. 若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________．

15. 设、为实数，且
，则
= 。

16. 设
，则二项式
展开式中不含
项的系数和是

评卷人

得分











三、解答题





17. 如图，在四棱锥
中，侧棱
底面
，底面
为矩形，
，为
的上一点，且
，为PC的中点.

（Ⅰ）求证：
平面AEC；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值.

18. 如图所示，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a>0），PA⊥平面AC，且PA=1．

（1）试建立适当的坐标系，并写出点P、B、D的坐标；

（2）问当实数a在什么范围时，BC边上能存在点Q，

使得PQ⊥QD？

（3）当BC边上有且仅有一个点Q使得PQ⊥QD时，

求二面角Q-PD-A的大小．

19. 已知函数
.

(1)当
时,求
的最小值;

(2)若函数
在区间
上为单调函数,求实数的取值范围;

(3)当
时,不等式
恒成立,求实数的取值范围.

20. 已知函数

．

（1）讨论函数
在定义域内的极值点的个数；

（2）若函数
在
处取得极值，对

,
恒成立，求实数
的取值范围.

21. 已知
的图像在点
处的切线与直线
平行.

（1）求a，b满足的关系式；

（2）若
上恒成立，求a的取值范围；

（3）证明：
（
）

22. 已知函数
．

(Ⅰ)若
无极值点，但其导函数
有零点，求的值；

(Ⅱ)若
有两个极值点，求的取值范围，并证明
的极小值小于
．

参考答案

一、单项选择

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】A

10.【答案】B

【解析】
，B中的
恒成立

11.【答案】A

12.【答案】B

二、填空题

13.【答案】-1

14.【答案】　9

【解析】由题意，x＝1是f′(x)＝12x2－2ax－2b的一个零点，所以12－2a－2b＝0，即a＋b＝6(a＞0，b＞0)，因此
当且仅当a＝b＝3时等号成立．

15.【答案】4

16.【答案】161

，所以
，二项式为
，展开式的通项为
，令
，即
，所以
，所以
的系数为
，令
，得所有项的系数和为，所以不含
项的系数和为
.

三、解答题

17.【答案】建立如图所示空间直角坐标系
，设
，则
，
，

，



（Ⅰ）设平面AEC的一个法向量为
，∵
，
∴

由
得
，令
，得
,又

∴
，
，
平面AEC∴
平面AEC

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面AEC的一个法向量为
，

又
为平面ACD的法向量，而
，

故二面角
的余弦值为

18.【答案】（1）以A为坐标原点，AB、AD、AP分

别为x、y、z轴建立坐标系如图所示．

∵PA=AB=1，BC=a，

∴P（0，0，1），B（1，1，0），

D（0，a，0）．



（2）设点Q（1，x，0），则

．

由
，得x2-ax+1=0．

显然当该方程有实数解时，BC边上才存在点Q，使得PQ⊥QD，故⊿=a2-4≥0．

因a>0，故a的取值范围为a≥0．

（3）易见，当a=2时，BC上仅有一点满足题意，此时x=1，即Q为BC的中点．

取AD的中点M，过M作MN⊥PD，垂足为N，连结QM、QN．则M（0，1，0），P（0，0，1），D（0，2，0）．

∵D、N、P三点共线，

∴
．

又
，且
，

故
．

于是
．

故
．

∵
，

∴
．

∴∠MNQ为所求二面角的平面角．

∵
，

∴所求二面角为
．

19.【答案】(1) 当
时,

当
时 函数
取最小值3.

(2)
设

依题意
得
.

20.【答案】（Ⅰ）
，

当
时，
在
上恒成立，函数
在
单调递减，

∴
在
上没有极值点；

当
时，
得
，
得
，

∴
在
上递减，在
上递增，即
在
处有极小值．

∴当
时
在
上没有极值点，

当
时，
在
上有一个极值点．

（Ⅱ）∵函数
在
处取得极值，∴
，

∴
，

令
，可得
在
上递减，在
上递增，

∴
，即
．

21.【答案】（1）
，根据题意
，即

（2）由（Ⅰ）知，
，

令

，

则
，
=

①当
时，
，

若
，则
，
在
为减函数，存在
，

即
在
上不恒成立．

②
时，
，当
时，
，
在
增函数，又
，

∴
，∴
恒成立．

综上所述，所求的取值范围是

（3）有（2）知当
时，
在
上恒成立．取
得

令
，
得
，

即

∴

上式中令n=1，2，3，…，n，并注意到：

然后n个不等式相加得到

（Ⅱ）另证：实际上，我们可以用反代的方式证明
的极值均小于
.

由于两个极值点是方程
的两个正根，所以反过来，

（用
表示的关系式与此相同），这样

即
，再证明该式小于
是容易的（注意
，下略）.