金山中学2012-2013年度第二学期期中考试

高二理科数学 试题卷

一、选择题（以下题目从4项答案中选出一项，每小题5分，共40分）

已知实数
满足
那么( )

如图是一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图，如果正视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为（）

A.
B．
C.
D．

从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点
，则点M取自阴影部分的概率为( )

A．
B．
C．
D．

设函数
的图象上的点
处的切线的斜率为k，若
，则函数
的图象大致为（ ）

如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有
个点，相应的图案中总的点数记为
，则
+
+
+…+
=( )

A．
B．
C．
D．

函数
有小于1的极值点，则实数的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

已知函数
在（1，4）上是减函数，则实数的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

已知集合
，若对于任意
，存在
，使得
成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：

①
；②
；

③
；④
．

其中是“垂直对点集”的序号是（ ）

A．①② B.②③ C.①④ D.②④

二、填空题（每小题5分，共30分）

．

函数
在区间
内零点的个数为 　　　　　 ．

若直线
是曲线
的切线，则实数的值为 .

函数
的单调递增区间是 ．

若关于的不等式
存在实数解，则实数的取值范围是 ．

现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为
．类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为　　．

三、解答题（共6题，共80分）

（本题12分）已知函数
（其中
，
，
）的最大值为2，最小正周期为
.

（1）求函数
的解析式；

（2）若函数
图象上的两点
的横坐标依次为
，
为坐标原点，求

的值.

（本题12分）数列
的前项和为
，且

（1）写出
与
的递推关系式
，并求
,
,
的值；

（2）猜想
关于的表达式，并用数学归纳法证明．

（本题14分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为
立方米，且
．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为
千元，设该容器的建造费用为千元．

（1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；

（2）求该容器的建造费用最小时的．

（本题14分）如图，四边形
与
均为菱形，
，且
.

（1）求证：
；

（2）求证：
；

（3）求二面角
的余弦值．

（本题14分）已知椭圆
的中心在坐标原点，两个焦点分别为
，

，点
在椭圆
上，过点的直线与抛物线
交于
两点，抛物线
在点
处的切线分别为
，且
与
交于点.

(1) 求椭圆
的方程；

(2) 是否存在满足
的点? 若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）; 若不存在，说明理由.

已知
，
，

（1）若对
内的一切实数，不等式
恒成立，求实数的取值范围；

（2）当
时，求最大的正整数
，使得对
（
是自然对数的底数）内的任意
个实数
都有
成立；

（3）求证：

．

金山中学2012-2013年度高二理科数学第二学期期中考试答案

选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

C

B

A

B

B

D

D



填空题

9．
10． 11．
12．
13．
14．

三、解答题

15．（1）解：∵
的最大值为2，且
，

∴
. ……………1分

∵
的最小正周期为
，

∴
，得
. ……………3分

∴
. ……………4分

（2）解法1：∵
， ……………5分

， ……………6分

∴
. …………7分

∴
. ……………10分

∴
……12分

解法2：∵
， …………5分

， ……………6分

∴
. ……………8分

∴
. ……………10分

∴
.……………12分

16．解：（1）由

得：
，

即
，
.

可得

（2）由（1）可猜想
，下面用数学归纳法证明：

(i) 当
时，
,猜想成立．

(ii)假设当
时，
成立，

则当
时，

故当
时，
，猜想成立.

由（i）(ii)可得，
对一切正整数都成立.
关于的表达式为
.

17．解: （I）设容器的容积为
，由题意知
，又
，

故
，由于
，因此

所以建造费用

（II）由（I）得

由于
，所以
，令
，得

（1）当
即
时，

所以
是函数的极小值点，也是最小值点．

（2）当
即
时，函数单调递减，

所以
是函数的最小值点，

综上所述，当
时，建造费用最小时
；当
时，建造费用最小时

18．解：（Ⅰ）证明：设AC与BD相交于点O，连结FO.

因为四边形ABCD为菱形，所以
，且O为AC中点.

又FA=FC，所以
. ……2分

因为
，

所以
.
………………………………………………3分

（Ⅱ）证明：因为四边形
与
均为菱形，

所以

因为

所以

又
，

所以平面

又

所以
. ……………6分

（Ⅲ）解：因为四边形BDEF为菱形，且
，所以
为等边三角形．

因为
为
中点，所以
由（Ⅰ）知
，故

.

由
两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系
.

设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，
，则BD=2，所以OB=1，
.

所以
.………………8分

所以
.

设平面BFC的法向量为
则有
所以

取
，得
. ……12分

易知平面
的法向量为
.

由二面角A-FC-B是锐角，得

.

所以二面角A-FC-B的余弦值为
.………14分

19．(1)解法1：设椭圆
的方程为

,

依题意:
解得:
……………2分

∴ 椭圆
的方程为
. ……………3分

解法2：设椭圆
的方程为

，

根据椭圆的定义得
，即
， ………1分

∵
， ∴
. ……………2分

∴ 椭圆
的方程为
. ……………3分

(2)解法1：设点
,
，则
，

，

∵
三点共线, ∴
. ……………4分

∴
,

化简得：
. ① ……………5分

由
,即
得

. ……………6分

∴抛物线
在点处的切线
的方程为
，即
. ②

同理，抛物线
在点
处的切线
的方程为
. ③ …………8分

设点
，由②③得：

，

而
，则
. ……………9分

代入②得
， ……………10分

则
，
代入 ① 得
，即点的轨迹方程为
. ……………11分

若
，则点在椭圆
上，而点又在直线
上，…………12分

∵直线
经过椭圆
内一点
, ∴直线
与椭圆
交于两点. …13分

∴满足条件
的点有两个. ……………14分

解法2：设点
,
，
，

由
,即
得

. ……………4分

∴抛物线
在点处的切线
的方程为
，即
.…5分

∵
， ∴
.

∵点
在切线
上, ∴
. ① ……………6分

同理，
. ② ……………7分

综合①、②得，点
的坐标都满足方程
. ………8分

∵经过
的直线是唯一的， ∴直线的方程为
，……9分

∵点
在直线上， ∴
. ……………10分

∴点的轨迹方程为
. ……………11分

若
，则点在椭圆
上，又在直线
上，12分

∵直线
经过椭圆
内一点
, ∴直线
与椭圆
交于两点. …13分

∴满足条件
的点有两个. ……………14分

解法3：显然直线的斜率存在，设直线的方程为
，

由
消去，得
. ……………4分

设
,则
. ……………5分

由
,即
得

. ……………6分

∴抛物线
在点处的切线
的方程为
，即
.…7分

∵
， ∴
.

同理,得抛物线
在点
处的切线
的方程为
. ……………8分

由
解得

∴
. ……………10分

∵
,

∴点在椭圆
上. ……………11分

∴
.

化简得
.(*) ……………12分

由
, ……………13分

可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点有两个. ……………14分

20.解：（1）由
得
，

，要使不等式
恒成立，必须
恒成立．

设
，
，

，当
时，
，则
是增函数，

，
是增函数，
，
．

因此，实数的取值范围是
． ………………………………………5分

（2）当
时，
，

，
在
上是增函数，
在
上的最大值为
．

要对
内的任意
个实数
都有

成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，

当
时不等式左边取得最大值，
时不等式右边取得最小值．

，解得
．

因此，
的最大值为
． ………………………………………9分

（3）证明（法一）：当
时，根据（1）的推导有，
时，
，

即
． ……………………………………………………10分

令
，得
，

化简得
， ………………………………13分

．………………………14分

（法二）数学归纳法：当
时，左边=
，右边=
，

根据（1）的推导有，
时，
，即
．

令
，得
，即
． 因此，
时不等式成立． ………10分

（另解：
，
，
，即
．）

假设当
时不等式成立，即
，

则当
时,

，

要证
时命题成立，即证
，

即证
． 在不等式
中，令
，得

．
时命题也成立． ………13分

根据数学归纳法，可得不等式
对一切
成立． …14分