金山中学2012-2013年度第二学期期中考试

高二文科数学 试题卷

一、选择题（以下题目从4项答案中选出一项，每小题5分，共50分）

1．
等于（ ） A．－
B.－
C.
D.

2．设
，则“
”是“复数
为纯虚数”的（ ）条件

A．充分而不必要　 B．必要而不充分 C．充分必要　　　 D.既不充分也不必要

3．在两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数
如下，其中拟和效果最好的模型是（ ）

A．模型1的相关指数
为0.25 B．模型2的相关指数
为0.50

C．模型3的相关指数
为0.98 D．模型4的相关指数
为0.80

4．曲线
在点
处的切线的倾斜角为（ ）

A．30° B．45° C．60° D．120°

5．以抛物线
的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为（ ）

A．
B．

C．
D．

6．函数
的定义域为
，其导函数
在
内的图象如图所示，则函数
在区间
内极大值点的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如下图所示,则该几何体的俯视图为（ ）

8. 某学生四次模拟考试时，其英语作文的扣分情况如下表：

考试次数

1

2

3

4



所减分数

4.5

4

3

2.5



显然所扣分数与模拟考试次数之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知
是双曲线
的左、右焦点，过
且垂直于轴的直线与双曲线交于
两点，若△
是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知函数
规定：给出一个实数
，赋值
，若
，则继续赋值
，…，
以此类推，若
，则
，否则停止赋值，如果得到
称为赋值了次
.已知赋值了
次后停止，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（每小题5分，共20分）

11.若复数
，则复数=_____________.

12. 若数列
，
是等差数列,则数列
=

也是等差数列，类比上述性质，若数列
是等比数列,且
,
，则
____________
也是等比数列.

13.如右图所示，执行程序框图，若输入N=99，则输出的
_________.

14. 观察下列三角形数表: 1 ---第一行

2 2 ---第二行

3 4 3 ---第三行

4 7 7 4 ---第四行

5 11 14 11 5 ---第五行

… … 　… 　…

第六行的最大的数字是 ；设第行的第二个数为

的通项公式是 .

三、解答题（共80 分）

15.（本小题满分12分）已知、、
为
的三个内角，且其对边分别为、
、，若
．

（1）求；

（2）若
，求
的面积．

16.（本小题满分12分）第
届亚运会于
年月
日至
日在中国广州进行，为了做好接待工作，组委会招募了
名男志愿者和
名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有
人和
人喜爱运动，其余不喜爱．

根据以上数据完成以下
列联表：

?

喜爱运动

不喜爱运动

总计



男

10



16



女

6

?

14



总计

?

?

30



 (2)能否在犯错误的概率不超过
的前提下认为性别与喜爱运动有关？

(3)如果从喜欢运动的女志愿者中(其中恰有人会外语)，抽取名负责翻译工作，则抽出的志愿者中人都能胜任翻译工作的概率是多少？

附:K2=

P(K2≥k)

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001



k

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828





17. (本小题满分14分)已知数列{
}满足
，且

（1）求证：数列{
}是等差数列；

（2）求数列{
}的通项公式；

（3）设数列{
}的前项之和
，求证：
．

18.(本小题满分14分)

如图1，在直角梯形
中，
，
，且
．

现以
为一边向形外作正方形
，然后沿边
将正方形
翻折，使平面
与平面
垂直，
为
的中点，如图2．

（1）求证：
∥平面
；

（2）求证：
平面
；

（3）求点到平面
的距离.

图 图

19.（本小题满分14分）设函数

（1）当
时，求
的最大值；

（2）令

，以其图象上任意一点
为切点的切线的斜率
恒成立，求实数的取值范围；

（3）当
时，方程
有唯一实数解，求正数的值．

20.（本小题满分14分）已知双曲线
，点、分别为双曲线
的左、右焦点，动点
在轴上方.

（1）若点
的坐标为
是双曲线的一条渐近线上的点，求以、为焦点且经过点
的椭圆的方程；

（2）若∠
，求△
的外接圆的方程；

（3）若在给定直线
上任取一点，从点向(2)中圆引一条切线，切点为
. 问是否存在一个定点
，恒有
？请说明理由.

高二文科数学 参考答案

选择题答案栏（50分）

题号

1

 2

 3

 4

 5

 6

 7

 8

 9

 10



答案

C

B

C

B

A

B

C

D

A

C



二、填空题（20分）

11．
12．
13．99/100 14.25;

三、解答题（共80 分）

15．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）

…………2分

又
，

，
………………6分

（Ⅱ）由余弦定理

得
…………………8分

即：
，
………………………………10分

………………………12分

16．（本小题满分12分）

解：(1) 2×2 列联表如下：

?

喜爱运动

不喜爱运动

总计



男

10

6

16



女

6

8

14



总计

16

14

30



……………………………2分

(2)假设：是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得：

因此，在犯错的概率不超过 0.10 的前提下不能判断喜爱运动与性别有关．…………6分

(3)喜欢运动的女志愿者有6 人，设分别为A，B，C，D，E，F，其中 A，B，C，D 会外语，则从这6 人中任取2 人有 AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF共15 种取法， …………………………9分

其中两人都会外语的有AB，AC，AD，BC，BD，CD 共 6 种．…………………………11分

故抽出的志愿者中 2 人都能胜任翻译工作的概率是
.………………………12分

17．（本小题满分14分）

解：

18．（本小题满分14分）

解：（1）证明：取
中点
，连结
．

在△
中，
分别为
的中点，

所以
∥
，且
．

由已知
∥
，
，

所以
∥
，且
． …………………………3分

所以四边形
为平行四边形．

所以
∥
． …………………………4分

又因为
平面
，且
平面
，

所以
∥平面
． ………………5分

（2）证明：在正方形
中，
．

又因为平面
平面
，且平面
平面
，

所以
平面
． 所以
． ………………………7分

在直角梯形
中，
，
，可得
．

在△
中，
，

所以
．所以
．…………8分

所以
平面
． …………………………10分

（3）解法一：由（2）知，
平面

又因为
平面
， 所以平面
平面
． ……………………11分

过点作
的垂线交
于点
，则
平面

所以点到平面
的距离等于线段
的长度 ………………………12分 在直角三角形
中，

所以

所以点到平面
的距离等于
. ………………………14分

解法二：由（2）知，

所以

………………………12分

又
，设点到平面
的距离为

则

所以

所以点到平面
的距离等于
. ………………………14分

19．（本小题满分14分）

解：（1）当
时，
……1分

解
得
或
（舍去） ……2分

当
时，
，
单调递增，

当
时，
，
单调递减 ……3分

所以
的最大值为
……4分

(2)
……6分

由
恒成立得
恒成立 ……7分

因为
，等号当且仅当
时成立 ……8分

所以
……9分

（3）
时，方程
即

设
，解

得
(<0舍去)，

在
单调递减，在
单调递增，最小值为
……11分

因为
有唯一实数解，
有唯一零点，所以
……12分

由
得
，

因为
单调递增，且
，所以
……13分

从而
……14分

20．（本小题满分14分）

解：（1）双曲线
的左、右焦点、的坐标分别为
和
，

∵双曲线的渐进线方程为：
，

∴点
的坐标为
是渐进线
上的点，即点
的坐标为
。

∵
∴椭圆的长轴长

∵半焦距
，∴椭圆的方程
……………………..5分

（2）∵
，∴
，即

又圆心在线段
的垂直平分线上，故可设圆心

由
。∴△
的外接圆的方程为
……………..9分

（3）假设存在这样的定点

设点P的坐标为

∵恒有
，∴

即
对
恒成立。

从而
，消去，得

∵方程
的判别式

∴①当
时，方程
无实数解，∴不存在这样的定点
；

②当
时，方程
有实数解，此时
，即直线
与圆相离或相切，故此时存在这样的定点
；……………..14分