卉原中学2012—2013学年下学期高二年级第一次月考

数学试题(理科)

第Ⅰ卷

选择题（每小题5分，共60分）

1．若
，其中、

，是虚数单位，则
（ ）

A．3 B．5 C．4 D．2

2．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程
有有理根，那么
中至少有

一个是偶数时，下列假设中正确的是（　 ）

Ａ．假设
都是偶数 Ｂ．假设
都不是偶数

Ｃ．假设
至多有一个是偶数 Ｄ．假设
至多有两个是偶数

3. 家电下乡政策是应对金融危机，积极扩大内需的重要举措．我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预期运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是(　 )

4. 一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…将此若干个圈依此规律

继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是（ ）

A．12 B. 13 C. 14 D. 15

5．函数
处的切线方程是 （ 　）

A．
B．

C．
D．

6. 若
，则的值是 （ ）

A．6 B．4 C．3 D．2

7. 函数
有( )

A. 极大值
,无极小值 B. 极大值
,极小值

C. 极大值
,极小值
D. 极小值
,无极大值

8. 已知二次函数
的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为

A．
B．
C．
D．

9. 设
在
内单调递增，
，则是的（ ）

Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件

Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件

10．给出下列命题

(1)实数的共轭复数一定是实数;

(2)满足
的复数的轨迹是椭圆;

(3)若
,则

其中正确命题的序号是( )

A.
B.
C.
D.(1)(2)

11. 已知f (x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0 ≤ x＜2时，f (x)＝x3－x，则函数y＝f (x)的

图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为(　　)．

A．6 B．7 C．8 D．9

12. 函数f (x)＝sinx＋2x
，
为f (x)的导函数，令a＝ ，b＝log32，则下列关系

正确的 (　 　)

A．f (a) > f (b) B．f (a) < f (b) C．f (a)＝f (b) D．f (|a|) < f (b)

第Ⅱ卷

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．设复数z满足z ( 2 - 3i ) = 6 + 4i(i为虚数单位),则z的模为________.

14．定积分
=___________．

15. 函数
的单调递增区间是 ．

16. 设函数
，是由轴和曲线
及该曲线在点
处的切线所围成的封闭区域，则
在上的最大值为 .

三、解答题（17题10分，18－22题各12分，共70分）

17．（ 10分）已知函数

，当x = 1时,有极大值3.

(1)求a ,b 的值. (2)求函数f (x)的极小值。

18.（12分）设函数

为奇函数，其图象在点
处的切线与直线

垂直，导函数
的最小值为
．

（1）求，
，的值；

（2）求函数
的单调递增区间，并求函数
在
上的最大值和最小值．

19、(12分)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为
，问该长

方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

20、(12分) 设
。

（1）求x2, x3, x4, x5的值； （2）归纳{
}的通项公式，并用数学归纳法证明。

21、(12分)设函数
。

（1）求曲线
在点
处的切线方程；

（2）求函数
的单调区间；

（3）若函数
在区间（－1，1）内单调递增，求
的取值范围

22、(12分)已知函数f(x)=
(m∈R)

（1）求函数f (x)的单调区间；

（2）若m = 0，A(a,f (a))、B(b，f (b))是函数f (x)图象上不同的两点，且a > b > 0,

为 f (x)的导函数，求证：

（3）求证

卉原中学2012—2013学年下学期高二年级第一次月考

理科数学试题参考答案

一、BBBCD DAACC BA

二、13， 2 14，
15，
16，2

u三、17.(1)a=-6,b=9 ,( 2)0

18．（Ⅰ）∵
为奇函数，∴

即
∴

∵
的最小值为
∴

又直线
的斜率为
因此，

∴
，
，
．

（Ⅱ）
．

　　　
，列表如下：































极大



极小





　　　所以函数
的单调增区间是
和

∵
，
，

∴
在
上的最大值是
，最小值是
．

19．解：设长方体的宽为
，则长为
，

高为
．

故长方体的体积为
．

从而
．

令
，解得
（舍去）或
，因此
．

当
时，
；当
时，
．

故在
处
取得极大值，并且这个极大值就是
的最大值．

从而最大体积
，此时长方体的长为
，高为
．

答：当长方体的长为
，宽为
，高为
时，体积最大，最大体积为
．

20. 解：（1）
…

（2）根据计算结果，可以归纳出
……….. 6分

证明：① 当n=1时,
与已知相符，归纳出的公式成立。……8分

② 假设当n=k(
)时，公式成立，即
那么,

所以，当n=k+1时公式也成立。…………………11分

由①②知，
时，有
成立。………….12

21. 解：（I）
曲线
在点（0, f (0)）处的切线方程为
。……………………….4分

（II）由
得
。………….5分

若k＞0，则当

当
。………….7分

若k＜0,则当

当
。…………..9分

（III）由（II）知，若k＞0，则当且仅当


；…………………11分

若k＜0, 则当且仅当

综上可知，
时，
的取值范围是
。

22. 解：（Ⅰ）f(x)的定义域为
，

时，
>0,
在
上单调递增；

时，
<0,
在
上单调递减.

综上所述：

在
上单调递增,在
上单调递减.…………3分

（Ⅱ）要证
，只需证
,令
即证
，

令
，

因此
得证.…………………6分

要证
，只要证
，

令
，只要证
，

令
，

因此
，

所以
得证.………………9分

另一种的解法:

令
=
,
,则

,

所以
在
单调递增，
即
得证.

(Ⅲ)由（Ⅱ）知
,（
），则

所以
.………………12分