湛江二中高二第二学期统一测试（一）文科数学

命题人：寇旭艳 审题人：黄日明

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）

1.设
（是虚数单位），则
（ ）A．
B．
C．
D．
2．用反证法证明命题：“三角形三个内角中至少有一个不大于60°”时，应假设( )

A．三个内角都不大于60° B．三个内角都大于60°

C．三个内角至多有一个大于60° D．三个内角至多有两个大于60°

3．下面几种推理过程是演绎推理的是( )

A．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A，∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°

B．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人

C．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质

D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，

由此归纳出{an}的通项公式

4．右图给出计算
的值的

一个程序框图，其中判断框内应填入的条件

A．

B．

C．

D．

5．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn(x)＝f′n－1(x)，n∈N，则f2013(x)＝( )

A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx

6．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( )

A．2ab－1－a2b2≤0 B．a2＋b2－1－≤0

C.－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0

某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标）。所得数据均在区间
中，其频率分布直方图如图2所示，由图中数据可知
，在抽测的100根中，棉花纤维的长度在
内的有 根。

A 0.05 55 B 0.045 50

C 0.045 55 D 0.05 50

8．函数
的单调递增区间是 ( )

A.
B.(0,3) C.(1,4) D.

9．已知＝ad－bc，则＋＋…＋＝( )

A．－2008 B．2008 C．2010 D．－2010

10．已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的
（
）焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

二．填空题（每题5分，共20分）

11. 若x是纯虚数，y是实数，且
，则

12、在平面几何里，有勾股定理：“设
的两边AB、AC互相垂直，则
。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得到的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC 、ACD、ADB两两互相垂直，则 ”。

13.已知
的取值如下表所示：

x

0

1

3

4



y

2.2

4.3

4.8

6.7



从散点图分析，与线性相关，且
，则
．

14．观察下列不等式：①
；②
；③
；…

则第
个不等式为 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和步骤.

15、（12分）已知函数
的部分图象如图所示。

（1）求函数f（x）的表达式；

（2）若
，求
的值。

16．(12分)某中学采取分层抽样的方法从应届高三学生中按照性别抽出20名学生作为样本，其选报文科理科的情况如下表所示.

男

女



文科

2

5



理科

10

3



(1)若在该样本中从报考文科的学生中随机地选出2人召开座谈会，试求2人中既有男生也有女生的概率；

(2)用假设检验的方法分析有多大的把握认为该中学的高三学生选报文理科与性别有关？参考公式和数据：K2＝.

P(K2≥K0)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



K0

2.07

2.71

3.84

5.02

6.64

7.88

10.83





17、(14分)如图所示，已知圆
的直径
长度为4，点为

线段
上一点，且
，点
为圆
上一点，

且
．点在圆
所在平面上的正投影为

点，
．

（1）求证：
平面
；

（2）求点到平面
的距离．

18、(14分)已知函数
，其中为常数，且
.

（1）若曲线
在点（1，
）处的切线与直线
垂直，求的值；

（2）若函数
在区间[1，2]上的最小值为
，求的值.

19、（14分）已知椭圆
：
，左、右两个焦点分别为
、
，上顶点
，
为正三角形且周长为6.（1）求椭圆
的标准方程及离心率；

（2）
为坐标原点，直线
上有一动点，求
的最小值．

20 (本小题满分14分)

已知函数f（x）=x2－4，设曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1,0）
，其中x1为正实数.

（Ⅰ）用xn表示xn+1；

（Ⅱ）若a1=4，记an=lg
，证明数列｛an｝成等比数列，并求数列｛xn｝的通项公式；

（Ⅲ）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明Tn<3.

湛江市第二中学高二数学（文科）月考答题卷

一．单项选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案























二．填空题

11． 12． 13． 14．

三．解答题

15．(本题12分)



16．(本题12分)



17. (本题14分)



18. (本题14分)



19. (本题14分)



20. (本题14分)



高二文科数学月考试题答案

一．单项选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

B

A

B

C

D

A

D

A

D



二．填空题

11．
12．

13． 2.6 14．

三．解答题

15. 解析：

16．解析：(1)设样本中两名男生分别为a，b,5名女生分别为c，d，e，f，g，则基本事件空间为：(ab)，(ac)，(ad)， (ae)，(af)，(ag),(bc)，(bd)，(be)，(bf)，(bg),(cd)，(ce)，(cf)，(cg),(de)，(df)，(dg),(ef),(eg)共21种，其中既有男又有女的事件有(ac)，(ad)， (ae)，(af)，(ag),(bc)，(bd)，(be)，(bf)，(bg),共10种

故“抽出的2人既有男生又有女生”的概率为P＝

(2)K2＝≈4.43>3.84，对照参考表格，结合考虑样本是抽取分层抽样抽取的，可知有95%以上的把握认为学生选报文理科与性别有关．

17．解析：（Ⅰ）连接
，由
知，点为
的中点，

又∵
为圆
的直径，∴
，

由
知，
，

∴
为等边三角形，从而
．-----------------3分

∵点在圆
所在平面上的正投影为点，

∴
平面
，又
平面
，

∴
，-----------------5分

由
得，
平面
．-----------------6分

（注：证明
平面
时，也可以由平面
平面
得到，酌情给分．）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
，
，--------7分

∴
．--------10分

又
，
，
，

∴
为等腰三角形，则
．--------12分

设点到平面
的距离为
，

由
得，
，解得
．--------14分

18．解析：
(
) ………………… 2分

（1）因为曲线
在点（1，
）处的切线与直线
垂直，，

所以
，即
……………………………………4分

(2)当
时，
在（1，2）上恒成立，这时
在[1，2]上为增函数

………………………………………6分

当
时，由
得，

对于
有

在[1，a]上为减函数，

对于
有

在[a，2]上为增函数，

…………………………………8分

当
时，
在（1，2）上恒成立，

这时
在[1，2]上为减函数，

.…………………………………10分

于是，①当
时，

②当
时，
，令
，得
…11分

③当
时，

…12分

综上，
……………………………14分

19．解析：（Ⅰ）解：由题设得
……………… 2分

解得：
，
… 4分

故
的方程为
. ……… 5分

离心率
…… 7分

（2）直线
的方程为
，…… 8分

设点
关于直线
对称的点为
，则

（联立方程组正确，可得至10分）

所以点
的坐标为
……………………………… 11分

∵
，
，………………12分

的最小值为
…………… 14分

20.解析：本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力．

（Ⅰ）由题可得
．

所以曲线
在点
处的切线方程是：
．

即
． …………… 2分

令
，得
．

即
．

显然
，∴
． …………… 4分

（Ⅱ）由
，知
，同理
．

　　　故
．

从而
，即
．所以，数列
成等比数列． ……6分

故
．

即
．

从而

所以
…………… 9分

Ⅲ）由（Ⅱ）知
，

∴

∴
…………… 11分

当
时，显然
．

当
时，

∴

．

　　　综上，

． …………… 14分