2014～2015学年南安一中高一年下学期期中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．某扇形的半径为
，它的弧长为
，那么该扇形圆心角为（ ）

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

2．在如图所示的平面图形中，
、
为互相垂直的单位向量，则向量
可表示为( )

A．
2
B．

C．
2
D．
2

3．已知
都是锐角，
，则
的值为( )

A．
B．
C．
D．

4．函数
的单调递减区间是 （ ）

A ．
B．

C ．
D．

5． 函数
的图象可由函数
的图象作怎样的变换得到（ ）

A．向左平移
个单位 B．向右平移
个单位 C．向左平移
个单位 D．向右平移
个单位

6． 己知
，且满足
，则
等于( )

A．
B．
C．
D．

7． 如图，过点
的直线与函数
的图象交于
两点，则
等于( )

A． B． C．
D．

8．已知函数
的部分图象如图所示，则函数
的解析式为( ) A．
B．

C．
D．

9．函数
的最大值与最小值之和为（ ）

A．
　　　 B．
　　　 C．0　　　 D．

10．设函数
，点
表示坐标原点，点
，若向量
，
是
与的夹角（其中
）．则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

11．如图，某大风车的半径为2，每6 s旋转一周，它的最低点
离地面
m．风车圆周上一点从最低点
开始，运动（s）后与地面的距离为
(m)，则函数
的关系式（ ）

A．
B．

C．
D．

12．在
中，点在线段
上，且满足
，过点的直线分别交直线
，
于不同的两点
，若
，
，则( )

A．
是定值，定值为2 　　B．
是定值，定值为3

C．
是定值，定值为2 　D．
是定值，定值为3

二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13．已知直角坐标平面内的两个向量
，
，使得平面内的任意一个向量都可以唯一分解成
，则的取值范围 ．

14．不等式
的解集是 ．

15．设函数
，若对任意
恒有
成立，则
的最小值为 ．

16．如图，小正六边形沿着大正六边形的边，按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半．当小正六边形沿着大正六边形的边滚动4周后返回出发时的位置，记在这个过程中向量
围绕着点
旋转
角（其中
为小正六边形的中心），则
等于 ．

三、解答题:本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请在指定区域内作答，否则该题计为零分．

17．（本小题满分12分）

已知函数
．

（Ⅰ）求函数
的最小正周期；

（Ⅱ）求函数
的单调区间．

18．（本小题满分12分）

在
中，已知
是的方程
的两个根．

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）若
，且满足
，求的值．

19．（本小题满分12分）

已知
，
．

（Ⅰ）求
，
的值；

（Ⅱ）求
的值．

20．（本小题满分12分）

函数
部分图象如图

所示，其中
、
、
分别是函数图象在

轴右侧的第一、二个零点、第一个最低点，且
是等边三角形．

（Ⅰ）求函数
的解析式；

（Ⅱ）若
，求
的值．

21．（本小题满分12分）．

已知向量
，
，函数
．

（Ⅰ）试用五点作图法画出函数
在一个周期内的图象（要求列表）；

（Ⅱ）求方程
在
内的所有实数根之和．

22．（本小题满分14分）

如图,曲线：
分别与、轴的正半轴交于点、，点
，角、
的终边分别与曲线交于点、
．

（Ⅰ）若
与
共线，求
的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若
，求
在
方向上的投影；

（Ⅲ）有研究性小组发现:若满足
，则
是一个定值，你认为呢？若是，请求出定值，若不是，请说明理由．

2014～2015学年南安一中高一年下学期期中考数学试卷

参考答案　　 2015．4

一、选择题

1~6： B A B C C D； 7～12：B A B C C D

二、填空题

13．
； 14．
；

15．； 16．
．

三、解答题

17．解：（Ⅰ）因为
，…………4分

所以函数
的最小正周期为． …………6分

（Ⅱ）由
有
,

即函数
的单调递增区间为
； …………9分

由
有
,

即函数
的单调递减区间为
．…………12分

18．解：（Ⅰ）方程
可整理得
．…………1分

由条件可知
，
．…………3分

所以
,…………6分

所以
．…………7分

（Ⅱ）在
中，
，所以
．…………8分

因为
，所以
．…………9分

由
有
，所以
或
，

所以
或
，即的值为
或
．…………12分

19．解:（Ⅰ）因为
，所以
，…1分

由于
，所以
，…3分

所以
．……………5分

（Ⅱ）原式
．………………8分

………………11分

．……………………12分

20．解：（Ⅰ）依题意有
，
，又
，
，

所以
，……………3分

因为
是等边三角形，所以

又
，∴
，

∴
．……………6分

(Ⅱ)
，
，
，……8分

=
，……………10分

．……………12分

21．解：（Ⅰ）

．…………2分

列对应值表如下：

0



























0

1

0

－1

0



…………4分

通过描出五个关键点，再用光滑曲线顺次连接作出函数
在一个周期内的图象如下图所示：

………………6分

（Ⅱ）∵
的周期
，

∴
在
内有3个周期． ………………7分

令
，所以
，

即函数
的对称轴为
．………………8分

又
，则

且
，所以
在
内有6个实根，……………9分

不妨从小到大依次设为
，

则
，
，
．

∴所有实数根之和=
=
．……………12分

22．解：（Ⅰ）
与
共线,
，

所以
,则
．………………3分

另法：因为
，所以
．

由三角函数的定义可知
，…………1分

又因为，
与
共线, 所以
,
, …………2分

所以
．………………3分

（Ⅱ）由(1)得
,
或

或
，……………… 5分

．…………………………6分

设
与
的夹角为
，

在
方向上的投影是
．………8分

（Ⅲ）由三角函数的定义可知

若
，则

则
……9分

又

，

故结论正确，定值为
．……………… 14分