高级中学2014—2015学年第二学期期中测试高一理科数学

命题人：李浩宾 审题人：张宏伟

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-8题，共40分，第Ⅱ卷为9-20题，共110分．全卷共计150分．考试时间为120分钟．

第Ⅰ卷（本卷共40分）

一、选择题：（本大题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．不等式
的解集是（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知等差数列
中，
的值是（ ）

A．15 B．30 C．31 D．64

3．过点（－1，3）且垂直于直线
的直线方程为（ ）

A．
B．

C．
D．

4．已知等比数列
的公比为正数，且
·
=2
，
=1，则
=（ ）

A.
B.
C.
D.2

5．在
中，若
，
，
，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

6．已知点
（，
）（
N*）都在函数
（
）的图象上，则
与
的大小关系是（ ）

A．
＞
B．
＜

C．
＝
D．
与
的大小与有关

7．如图，正方形
的边长为，延长
至，使
，

连接
、
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知整数按如下规律排成一列：
、
、
、
、
，
，
，
，
，
，……，则第70个数对是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（本卷共计110分）

二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9．已知两条直线
若
，则
．

10．若
，则下列不等式①
；②
③
；④
中，正确的不等式是 ．（填写正确序号）

11．已知点P
在直线
上，则
的最小值为 ．

12．在
中，若
，AB=5，BC=7，则
的面积S=__________.

13．在
中，角
所对边长分别为
，若
，则
的最小值为 ．

14．等比数列
的首项为
，公比
．设
表示该数列的前n项的积，

则当n= 时，
有最大值．

三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）

15．（本小题满分12分）

（Ⅰ）求以下不等式的解集：

（1）
（2）

（Ⅱ）若关于x的不等式
的解集为
，求实数m的值．

16．（本小题满分12分）

已知
三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c，0)．

（Ⅰ)若
,求c的值；

（Ⅱ）若c=5，求sin∠A的值．

17．（本小题满分14分）

等比数列
的各项均为正数，且

（Ⅰ)求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
求数列
的前n项和
；

（III）设
,求证：
．

18．（本小题满分14分）

如图所示，某海岛上一观察哨A在上午11时测得一轮船在海岛北偏东
的C处，12时20分测得船在海岛北偏西
的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？

19．（本小题满分14分）

已知点
到直线l：
的距离为
.数列{an}的首项
，且点列
均在直线l上.

（Ⅰ)求b的值；

（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；

（III）求数列
的前n项和
.

20．（本小题满分14分）

已知数列{an}的前n项和为
，且满足
，数列
满足
，
为数列
的前n项和.

（Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；

（III）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得
，
，
成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由.





高级中学2014—2015学年第二学期期中测试

高一理科数学参考答案

一．选择题：（本大题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

A

A

B

B

A

B

C



第Ⅱ卷（本卷共计110分）

二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9．2 10. ①④ 11.
12．
13.
14.

14.解
，

∵
，

∴当n≤10时，
＞1，∴ | f(11) |＞| f(10) |＞…＞| f(1) |；

当n≥11时，
＜1，∴ | f(11) |＞| f(12) |＞…

∵
，∴
的最大值为
或
中的最大者．

∵
，

∴ 当n=12时，
有最大值为
．

三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）

15．（本小题12分）

（Ⅰ）求以下不等式的解集：

1．
2．

（Ⅱ）若关于x的不等式
的解集为
，求m的值．

解：（Ⅰ）1.
的解集为
3分

2．
的解集为
7分

（Ⅱ）若关于x的不等式
的解集为
，则0,2是
的解．故

，解得
，所以
12分

16．（本小题满分12分）

已知
三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c，0)．

（Ⅰ)若
,求c的值；

（Ⅱ）若c=5，求sin∠A的值．

(1)

由
得
5分

(2)

12分

17．（本小题14分）

等比数列
的各项均为正数，且

（Ⅰ)求数列
的通项公式；

（Ⅱ）（Ⅱ）设
求数列
的前n项和
.

（III）设
,求证：
．

解：（Ⅰ）设数列
的公比为q，由
得
所以
。

由条件可知a>0,故
。 2分

由
得
，所以
。 4分

故数列
的通项式为an=
。 5分

（Ⅱ）

9分

（III）
, 则

14分

18．（本小题满分14分）

如图所示，某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东
的C处，12时20分测得船在海岛北偏西
的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？

解：轮船从C到B用时80分钟，从B到E用时20分钟，

而船始终匀速前进，由此可见：BC=4EB，设EB=，则

则BC=4，由已知得
2分

在△AEC中，由正弦定理得：

5分

在△ABC中，由正弦定理得：

8分

在△ABE中，由余弦定理得：

11分

所以船速
答：该船的速度为
km/h 14分

19．（本小题满分14分）

已知点
到直线l：
的距离为
.数列{an}的首项
，且点列
均在直线l上.

（Ⅰ)求b的值；

（Ⅱ）求数列{an}的通项；

（III）求数列
的前n项和
.

解：（Ⅰ)由点
到直线l：
的距离为
，得

，解得b=2 3分

（Ⅱ）数列{an}满足
，即
，故
是以2为首项，公比为3的等比数列，故
，即
8分

（III）数列
的通项
，故由分组求和，错位相减求和得

14分

20．（本小题满分14分）

已知数列{an}的前n项和为
，且满足
，数列
满足
，
为数列
的前n项和，（Ⅰ)求数列{an}的通项和
；（Ⅱ）若对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；（III）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得
，
，
成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由。

解：（1）由
得
， 3分
，∴
。 5分（2）①当n为偶数时，要使不等式
恒成立，即需不等式
恒成立，
，等号在n=2时取得∴此时λ需满足λ＜25； 7分②当n为奇数时，要使不等式
恒成立，即需不等式
恒成立，
是随n的增大而增大，∴n=1时，
取得最小值-6∴此时λ需满足λ＜-21； 9分综合①、②可得λ的取值范围是λ＜-21。 10分（3）
，若
成等比数列，则
，由
，即
，∴
， 12分又m∈N，且m＞1，所以m=2，此时n=12，因此，当且仅当m=2，n=12时，数列{Tn}中的
成等比数列。 14分