数学试题卷（文科）共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用
毫米的黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并收回。

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确答案的代号填涂在答题卡上.

1．已知
，则

A．
B．
C．
D．

2．已知
且
，则下列不等式成立的是

A．
　 B．
C．
D．

3．设等差数列
的公差
不为
．若
，且
成等比数列，则公差

A． B．
C． D．

4．已知
，
，且
，则向量
与向量
的夹角为

A．
B．
C．
D．

5．已知
,则“
”是“直线
与
平行”的

A．充分必要条件 B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知实数
满足条件
，则
的最小值为

A．
B． C． D．

7．若函数
的图象向左平移
个单位后关于原点对称，则函数

在
上的最小值为

A．
B．
C．
D．

8．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的

体积为

A． B．
C．
D．

9．在如图所示的程序框图中，若输出的
值等于
，则在该程序框图中的

判断框内填写的条件为

A．
B．
C．
D．

10．设
为双曲线
的右焦点，点的坐标为

．若圆
与双曲线的渐近线相切，且
，

则该双曲线的离心率的取值范围是

A．
B．
C．
D．

二．填空题：本大题5个小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应的位置上．

11．函数
的定义域为 ．

12．某商场在今年春节期间的促销活动中，对正月初三9时至14时的销售额进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知9时至10时的销售额为
万元，则11时至

12时的销售额为 万元．

13．已知函数
的导函数
的图象如图所示，则函数
在区间
上取得极大值时，的取值

为 ．

14．若复数满足
，且在复平面内对应的点位于第二象限，则
．

15．已知函数
，若方程
有三个实根，则实数的取值范围是 ．

三．解答题：本大题6个小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上．

16. （本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分．）

已知数列
的前项和
，其中
．

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）求数列
的前个偶数项的和
．

17. （本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）

某区今年春季运动会共有5场篮球比赛，其中甲、

乙两运动员得分的茎叶图如图所示．

（Ⅰ）求甲、乙两名队员得分的平均值和方差，并

判断哪一个队员的成绩更稳定；

（Ⅱ）在甲队员的得分中任选两个得分，求恰有一

个得分不低于平均分的概率．

18. （本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分．）

设
分别是锐角
的角
所对的边，且
．

（Ⅰ）求角
的值；

（Ⅱ）若
，且
，求
的面积
．

19. （本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问4分，（Ⅲ）小问4分．）

如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，
底面
，
分别为
的中点，且
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：平面
平面
；

（Ⅲ）求三棱锥
的体积．

20. （本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分．）

已知函数

．

（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）若
存在最大值
，且
，求的取值范围．

21. （本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分．）

已知椭圆

的左右焦点分别为
，
，离心率为
，过

的直线
与椭圆
交于
，
两点，且△
的周长为
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设直线
与椭圆
交于，两点，
为坐标原点，且
．过点
作

直线
的垂线，垂足为
，求点
的轨迹方程．

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数学试题（文科）参考答案

一、选择题：1～5:D D A B C; 6～10：C D B A A．

二、填空题：11．
， 12.
， 13．， 14．
， 15．
．

三、解答题：

16. 解：（Ⅰ）∵
，
，

∴
，即
；……………………………………………………2分

同理
．……………………………………………………………6分

（Ⅱ）∵
，∴
，……8分

∵
，∴
，∴
，即
，

∴数列
的偶数项是以为公差的等差数列．……………………………10分

又由（Ⅰ）知，
，∴
，

∴
． ……………………13分

17．解：（Ⅰ）由茎叶图可知，甲、乙的得分分别为：

甲：9，11，12，15，28； 乙：7，10，15，19，24．

∴
，
．

∴甲、乙的平均值相同． ………………………………………………………2分

……………………………………………………………………………………6分

∵
，故乙队员的成绩比甲队员的成绩稳定．………………………7分

（Ⅱ）在甲队员的得分中任意抽取两个得分的情形为：

共有10种情形．…………………………………………………………………9分

而恰有1个分数不低于平均分15分的有：

共有6种情形 ……………………………………………………………………11分

∴所求概率
． ………………………………………………………13分

18．解：（Ⅰ）∵
为锐角三角形，且
，

∴由正弦定理，得
，…………………………2分

∴
．………………………………………………………………4分

故
．……………………………………………………………………6分

（Ⅱ）∵
，∴
(1)………………………………7分

又∵
，
，

∴由余弦定理，得
，即
(2)…9分

由（1）、（2）两式得：
， ……………………………………………11分

故由三角形的面积公式，得
． ……………………13分

19．解：（Ⅰ）证明：取
的中点，连接
，

∵
分别为
的中点，

∴
，………………2分

又∵
平面
，
，

∴平面

平面
，……………3分

∴
平面
．……………………4分

（Ⅱ）证明：∵底面
是正方形，

∴
．……………………………5分

又∵
底面
，∴
， ………………………………………6分

∴
平面
，故平面
平面
． ……………………………8分

（Ⅲ）解：∵
底面
，∴
为三棱锥
的高， ………9分

又∵
，∴
，…………………………………………10分

∴三棱锥
的体积
．…………………………12分

20．解：（Ⅰ）当
时，
．

．

∴
． ………………………………………………………………2分

又∵
，

∴曲线
在点
处的切线方程是
，

即
． …………………………………………………………4分

（Ⅱ）∵函数
的定义域为
，且
．

当
时，由
知
恒成立，得
在区间
上单

调递减． ……………………………………………………………………6分

当
时，由
知
恒成立，得
在区间
上单

调递增． ……………………………………………………………………8分

当
时，由
，得
，由
，得
，

∴
在区间
内单调递增，在区间
内单调递减．

∴当
时，函数
有最大值，且最大值为：
． …………………………………………10分

∵
，∴
，解之得
． …………………11分

∴的取值范围是
． …………………………………………………12分

21．解：（I）由题意知，
，所以
． ………………………………………2分

∵
，∴
，
． …………………………………………………3分

∴椭圆
的方程为
． ……………………………………………4分

（II）∵
，∴