第I卷（选择题）

一、选择题：共12题 每题5分 共60分

1．函数f(x)=cos2x+sin x的最小值是

A.
B.-
C.-1 D.

2．在△ABC中,BC=a,AC=b,a,b是方程x2-2
x+2=0的两个根,且2cos(A+B)=1.则角C的大小

A.60° B.90° C.120° D.180°

3．已知集合
，
，则集合

A.
B.
C.
D.

4．AC为平行四边形ABCD的一条对角线，

A.?
B.
C.(1,1) D.(2,4)

5．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长都相等,它的俯视图如图所示,左视图是一个矩形,矩形的面积为2
,则这个三棱柱的表面积为

A.2
B.12 C.2
+12 D.2
+6

6．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为(　　).

A.
B.
C.
D.

7．下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面.

①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；

③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ.

则正确的命题是

A.①③ B.②③ C.①④ D.②④

8．如图，E、F分别是三棱锥P-ABC的棱AP、BC的中点，PC=10，AB=6，EF=7，则异面直线AB与PC所成的角为

A.90° B.60° C.45° D.30°

9．已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A?l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是

A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥β D.AC⊥β

10．已知正三棱锥P-ABC的高PO的长为h,点D为侧棱PC的中点,PO与BD所成角的余弦值为
,则正三棱锥P-ABC的体积为

A.
h3 B.
h3 C.
h3 D.
h3

11．已知α、β为两个不同的平面,l为直线,若α⊥β,α∩β=l,则

A.垂直于平面β的平面一定平行于平面α

B.垂直于直线l的直线一定垂直于平面α

C.垂直于平面β的平面一定平行于直线l

D.垂直于直线l的平面一定与平面α、β都垂直

12．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是

A.平行 B.相交 C.异面垂直 D.异面不垂直

第II卷（非选择题）

二、填空题：共4题 每题5分 共20分

13．已知角终边经过点
，则
??????? .

14．对于函数
，若存在常数
，使得取定义域内的每一个值，都有
，则称
为准奇函数.给定下列函数：

①
? ②
③
? ④

其中所有准奇函数的序号是__________.

15．向量、满足
，
，与的夹角为
，则
?????????? .

16．如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,底面是边长为2的正三角形,侧棱长为3,则BB1与平面AB1C1所成的角为　　　.

三、解答题：共6题 共70分

17．(本题12分)设集合
，记
为同时满足下列条件的集合的个数.

①
； ②若
，则
； ③若
，则
.

(1)求
；

(2)求
的解析式(用表示).

18．(本题10分)(1)已知
，且
，求
的值；

(2)已知为第二象限角，且
，求
的值.

19．(本题12分)已知函数f(x)=
sin2x-cos2x-，x∈R. (1)当
时，求函数f(x)的单调增区间；

(2)设⊿ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=
，
，若向量
与向量
共线，求⊿ABC的面积.

20．(本题12分)如图（示意），公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝－2.在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km，
km.现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园.为尽量减少耕地占用，问如何确定B点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积.

21．(本题12分)在几何体ABCDE中，∠BAC=，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC， AB=AC=BE=2，CD=1.

(I)设平面ABE与平面ACD的交线为直线，求证：∥平面BCDE；

(II)设F是BC的中点，求证：平面AFD⊥平面AFE；

(III)求几何体ABCDE的体积.

22．(本题12分)已知圆过点
，
，并且直线
平分圆的面积．

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）若过点
，且斜率为的直线与圆有两个不同的公共点
．

①求实数的取值范围；?? ②若
，求的值．

参考答案

1.C

2.C

3.A

4.A

5.C

6.C

7.C

8.B

9.D

10.C

11.D

12.C

13.

14.①④

15.
.

16.

解法二：易得
?,

当
为奇数时，集合
中满足条件的集合A有
个,对于集合，考虑元素n，因为n为奇数，所以
均可，故
.

即
，

叠乘得
?.

当
为偶数时，集合
中满足条件的集合A有
个.

对于集合，考虑元素n，因为n为偶数，所以
，即n是否属于集合A,完全由 ?确定.而集合
中，对于每一个满足条件的集合A，元素 是否属于集合A均是确定的，故
为奇数，所以

综上，
? .

18.(1)因为
所以
，故

所以

(2)为第二象限，且
，所以

故

19.(1)根据题意，由于函数f(x)=
sin2x-cos2x-，结合二倍角的余弦公式得到，
.

，所以
又因为

所以函数的增区间为：

(2)根据题意，由于c=
，
，
??QUOTE
?，又
，∴
，得
?QUOTE
?.

∵
与
共线，∴1×sinB -2×sinA=0，即sinB=2sinA，

由正弦定理得：b=2a.

由余弦定理得：
??QUOTE
?，化简得：(5a+3)(a-1)=0

∴a=1，b=2.?

20.解：（方法一）

如图，以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系.

因为tanα＝－2，故直线AN的方程是y＝－2x.

设点P(x0，y0).

因为点P到AM的距离为3，故y0＝3.

由P到直线AN的距离为
，

得
＝
，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)，

所以点P(1，3).

显然直线BC的斜率存在.设直线BC的方程为y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0).

令y＝0得xB＝1－.

由
?解得yC＝
?.

设△ABC的面积为S，则S＝×xB×yC＝
＝－1＋
.

由S￠＝
?＝0得k＝－或k＝3.

当－2＜k＜－时，S￠＜0，S单调递减；当－＜k＜0时，S￠＞0，S单调递增.

所以当k＝－时，即AB＝5时，S取极小值，也为最小值15.

答：当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2.

（方法二）

如图，以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系.

因为tanα＝－2，故直线AN的方程是y＝－2x.

设点P(x0，y0).

因为点P到AM的距离为3，故y0＝3.

由P到直线AN的距离为
，

得
＝
，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)，

所以点P(1，3).

显然直线BC的斜率存在.设直线BC的方程为y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0).

令y＝0得xB＝1－.

由
解得yC＝
.

设△ABC的面积为S，则S＝×xB×yC＝
＝－1＋
.

令8k－9＝t，则t∈(－25，－9)，从而k＝
.

因此S＝－1＋
＝－1＋
＝－1＋
.

因为当t∈(－25，－9)时，t＋
∈(－34，－30]，

当且仅当t＝－15时，此时AB＝5，34＋t＋
的最大值为4.从而S有最小值为15.

答：当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2.

（方法三）

如图，过点P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足为E、F，连接PA.设AB＝x，AC＝y.

因为P到AM，AN的距离分别为3，
，

即PE＝3，PF＝
.

由S△ABC＝S△ABP＋S△APC

＝×x×3＋×y×
?＝?(3x＋
y).? ①

因为tana＝－2，所以sina＝
?.

所以S△ABC＝×x×y×
.? ②

由①②可得×x×y×
＝?(3x＋
y).

即3
x＋5y＝2xy. ③

因为3
x＋5y≥2
，所以 2xy≥2
.

解得xy≥15
.

当且仅当3
x＝5y取“＝”，结合③解得x＝5，y＝3
.

所以S△ABC＝×x×y×
有最小值15.

答：当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2.

21.(1)∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，

∴DC//EB，又∵DC平面ABE，EB平面ABE，

∴DC∥平面ABE

平面ABE
平面ACD，则DC∥

又平面BCDE，CD平面BCDE

所以∥平面BCDE.

(2)在△DEF中，
，由勾股定理知，

由DC⊥平面ABC，AF平面ABC，∴DC⊥AF，

又∵AB=AC，F是BC的中点，∴AF⊥BC，

又∵DC∩BC=C，DC平面BCDE ，BC平面BCDE，

∴AF⊥平面BCDE，∴AF⊥FD，又∵AF∩FE=F，∴FD⊥平面AFE，

又FD平面AFD，故平面AFD⊥平面AFE.

(3)∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC， DC//EB，且四边形BCDE是直角梯形，在
中，∠BAC=，AB=AC =2，且F是BC的中点，则可知BC=
,AF=

由上可知，AF⊥平面BCDE，则可知几何体ABCDE的体积就是以平面BCDE为底面，高为AF的三棱锥的体积，则可知得到为

22.（Ⅰ）∵
平分圆的面积，∴圆心
在直线上，∴设
，又∵圆
过点，，

∴
，即
，∴
，半径
，

∴圆
的方程为
；

(Ⅱ)①：设直线的方程为
，代入
并化简可得：
，

∵直线与圆有两个不同的公共点
，∴
，

即实数
的取值范围是
，

②：设
，
，由①可知
，
，

∴
，

∴
，

∴
.