宿迁市五校2014-2015学年度上学期期中联考高一年级数学

(本试卷共4页,满分160分,考试时间120分钟)

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．）

1．已知

，则
= ▲ .

2．函数
的定义域为 ▲ .

3．函数
的值域为 ▲ ．

4．已知幂函数
的图象过点
，则
▲ .

5．若函数
是偶函数，则该函数的递减区间是 ▲ .

6．已知
，那么将
用表示的结果是 ▲ .

7．如果函数
在区间
上存在一个零点，则的取值范围是 ▲ ．

8．已知函数
，且对于任意的恒有
，则
　 ▲　　.

9．若
，则
，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中，是伙伴关系集合的个数为 ▲ ．

10．函数
在[2013,2013]上的最大值与最小值之和为 ▲ 　．

11．若函数
则不等式
的解集为 ▲ .

12．如果如果
，且
，则
＋…＋
= ▲ 　．

13．已知
，
，函数
，

若
时
成立，则实数的取值范围为 ▲ .

14．设
是定义在上的奇函数，且当
时，
，若存在
，使不等式
成立，则实数的取值范围是 ▲ ．

二、解答题（本大题共6小题，共计90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．将每题解答过程写在答题卡相应的区域内．）

15．（本大题满分14分）

已知函数

（Ⅰ）设集合
，集合
，求
；

（Ⅱ）设集合
，集合
，若
，求的取值范围.

16．（本大题满分14分）

（Ⅰ） 化简：
；

（Ⅱ） 已知
，求
的值．

17．（本大题满分14分）

已知二次函数
满足
．

（Ⅰ）求
的解析式；

（Ⅱ）若
在
上有最小值
，最大值
，求a的取值范围．

18．（本大题满分16分）

已知函数
.

（Ⅰ）证明：
是R上的增函数；

（Ⅱ）当
时，求函数
的值域.

19．（本小题满分16分）

因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一鱼塘中.为了治污,根据环保部门的建议,现决定在鱼塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放
,且
个单位的药剂,它在水中释放的浓度 (克/升)随着时间 (天)变化的函数关系式近似为
,其中
.若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用.

（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达几天?

（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效治污,试求的最小值(精确到0.1,参考数据:
取1.4).

20．（本大题满分16分）

对于定义域为D的函数
，若同时满足下列条件：

①
在D内具有单调性；

②存在区间[
]
，使
在[
]上的值域为[
]；

那么称
(
)为闭函数．

（Ⅰ）求闭函数
符合条件②的区间[
]；

（Ⅱ）判断函数
是否为闭函数？并说明理由；

（Ⅲ）若函数
是闭函数，求实数
的取值范围．

宿迁市五校2014-2015学年度上学期期中联考

高一数学参考答案

二、解答题

16、解（Ⅰ）原式
……………………………………………………………

（Ⅱ）
可转化为

，解之得：
……………………………………

……………………………………………………

17、解（Ⅰ）设

，则

……………………………………………………

解之得：
……………………………………………………………

………………………………………………………………………

（Ⅱ）根据题意：

………………………………………………………

解之得：

………………………………………………………

（Ⅱ）
……………………………………………………

由（Ⅰ）（Ⅱ）可知：

……………………………………………………

19、解：（Ⅰ）因为
,所以
………………………………2分

则当
时,由
,解得
,所以此时
…………… 4分

当
时,由
,解得
,所以此时
…………………6分

综合,得
,若一次投放4个单位的制剂,则有效治污时间可达8天…… 8分

（Ⅱ）当
时,
………………………10分

=
=
,

,则
，而
,所以
,

用定义证明出：

故当且仅当
时,有最小值为
…………………………14分

令
,解得
,

所以的最小值为
……………………………………………16分

（3）若
是闭函数，则存在区间[
]，在区间[
]上，

函数
的值域为[
]，即
，

为方程
的两个实根，

即方程
有两个不等的实根。．．．．．．．．．16分

当
时，有
，解得
。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

当
时，有
，无解。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分

综上所述，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分