1.若集合
，
，则集合

A.
B.
C.
D.

2.若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是

A.直线与平面平行 B.直线与平面相交

C.直线上至少有一个点在平面内 D.直线上有无数多个点都在平面外

3.如图，定点和都在平面内，定点
，
，
是平面内异于和的动点，且
，则
为

A.直角三角形 B.锐角三角形

C.钝角三角形 D.无法确定

4.若
、、是互不重合的直线，、
是不重合的平面，则下列命题中正确的是

A.若
，
，
，则
B.若
，
，则

C.若
，
，则
D.若
，
，则

5.正方体与其外接球的表面积之比为

A.
B.
C.
D.

9.已知平面
平面
，
，
，
，
，垂足为
，
，垂足为（点
，不重合），若
，则

A.
，

B.
，

C.
，

D.
，

10.已知正三棱锥
的四个顶点都在半径为
的球面上，
，
分别为
，
的中点. 若
，则球心到平面
的距离为

A.
B.
C.
D.

11.如图，设平面
平面
，
，
，垂足

分别为，，如果再增加一个条件，就可以推出
.

现有：①
；②
；③
与
在
内的射影

在同一条直线上. 那么上述三个条件中能成为增加条件的个数是

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

12.若四面体的各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积不可能是

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.如图，平面
，直线
、分别与、
、相交于点、

、
和点、、F. 若
，
，则
.

14.在古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个球，这个球与圆柱的侧

面及两个底面都相切，相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现. 记圆柱的体积是

球的体积的倍，圆柱的表面积是球表面积的倍，则与的大小关系是 .

15.水平桌面上放有4个半径均为2的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）.在这4个球的上面放一个半径为1的小球，它和下面的4个球恰好相切，则小球的球心到水平桌面的距离是 .

16.已知函数
，若存在
，
，且
，使得
成

立，则实数的取值范围是 .

三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本题满分10分）

已知集合
.

（Ⅰ）当
时，求集合
；

（Ⅱ）若
，且
，求实数的取值范围.

18.（本题满分12分）

如图，平面
⊥平面
，
为正方形，
，且
，，，
分别是线段
，
，
的中点.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求三棱锥
的体积.

19.（本题满分12分）

在正四棱柱
中，为
中点，为
中点.

（Ⅰ）求证:
平面
；

（Ⅱ）在
上是否存在一点
，使
平面
？若存在，请确定点
的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.

20.（本题满分12分）

已知为常数，函数
为奇函数.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若
，试判断
的单调性（不需证明）；

（Ⅲ）当
时，若存在
，使得
能成立，求实数
的最大值．

21.（本题满分12分）

如图1，在
中，
，
，
，，分别是
，
上的

点，且
. 将
沿
折起到
的位置，使
，如图2．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）当点在何处时，
的长度最小，并求出最小值．

22.（本题满分12分）

对于函数
，若在定义域内存在实数，满足
，则称
为“局部奇函数”．

（Ⅰ）若
是定义在区间
上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；（Ⅱ）若
为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．

注：函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增.

2014-2015学年度上学期高一年级第一次阶段性考试

数学科试题答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

CDADB ABCAC CD

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.15

14.

15.3

16.

三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本题满分10分）

解：（Ⅰ）当
时，解不等式
，得
…………………3分

∴
………………………………………4分

（Ⅱ）∵
，∴

又∵
∴

∴
……………………………………………7分

又∵
∴
…………………………………………9分

解得
，故实数的取值范围是
…………………………………10分

18.（本题满分12分）

解：（Ⅰ）∵，分别是线段
，
的中点

∴
……………………2分

又∵
为正方形，∴

∴
……………………4分

又∵
平面
，
平面

∴
平面
………………………………………………6分

（Ⅱ）∵平面
⊥平面
，

∴
⊥平面
，即
⊥平面
……………………………………8分

又∵
，
，∴
……………………………………10分

又∵
，

∴

…………………12分

19.（本题满分12分）

（Ⅱ）在
上存在一点
,使
平面

取
中点
，连结
……………………………………………7分

在正方形
中，
，
，

∴

∴

∵

∴

∴
……………………………………………10分

∵
且
,

∴
平面
.

故在
上存在中点
，使得
平面
…………………………12分

20.（本题满分12分）

解：（Ⅰ）由
得

即

∴

∴

∴
，故
…………………………4分

（Ⅱ）若
，则

此时
在上单调递增减 …………………………6分

（Ⅲ）∵
为奇函数

∴
即

由（Ⅱ）知
在区间
上单调递减

∴
即
…………………………9分

令
，则
在区间
上为增函数

∴
时，
的最大值为
…………………………11分

∴
，故
的最大值为
…………………………12分

21.（本题满分12分）

解：（Ⅰ）在
中，
，

∴

∴
，又
，

∴
平面
由
平面

∴

∴
，

∴
平面
…………………………6分

（Ⅱ）设
，则

由（Ⅱ）可知，
，
均为直角三角形

当