长沙市一中2016届高三月考试卷（八）

数学（文科）

一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项

是符合题目要求的）.

1.已知全集
，则正确表示集合
和
关系的韦恩
图是（ ）

A．
B．
C．
D．

2.设
是虚数单位，若复数
是纯虚数，则
的值为（ ）

A．-3 B．-1 C．1 D．3

B．对于命题
，使得
，则
，均有

C．若
为假命题，则
均为假命题

D．命题“若
，则
”的否命题为”若
，则
．

4.下列四个结论中，正确的个数有（ ）

（1）
；（2）
；（3）
；（4）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5.如图中，输入
，则输出结果是（ ）

A．74 B．37 C．101 D．202

6.已知实数
满足
，则
的最大值为（ ）

A．-1 B．0 C．1 D．3

7.如图，已知四边形
是等腰梯形，
是腰
中点，
是
两个三等分点，下底是上底2倍，若向量
，向量
，则向量
用
表示为（ ）

A．
B．
C．
D．

8.一个四面体的顶点在空间直角坐标系
中的坐标分别是
，画该四面体三视图中的正视图时，以
平面为投影面，则得到的正视图可以为（ ）

A．
B．
C．
D．

9.函数
在区间
上是减函数，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

10.已知
，
，则函数
的零点个数有（ ）

A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个

11.已知
是双曲线
上的一点，
是左，右焦点，
与渐近线平行，
，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．2 D．

12.设函数
在
上存在导函数
，对任意
，都有
，且
时，
，若
，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸上）

13.函数
的图像向右平移
个单位后，与函数
的图像重合，则
________．　

14.利用计算机模拟来估计未来三天中恰有两天下雨的概率过程如下：先产生0到9之间均匀整数随机数，用1、2、3、4表示下雨，用5、6、7、8、9、0表示不下雨，每三个随机数作为一组，共产生20组：

907，966，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，393，027，556，488，730，113，537，989，则每一天下雨概率是__________，三天中两天下雨概率是_________．

15.如图，
，
的面积为
，则以
为长半轴，
为短半轴，
为一个焦点的椭圆方程为________．

16.正方形
的边长为1，把三角形
沿对角线
翻折，使得面
面
后，有如下四个结论：

（1）
；（2）
是等边三角形；（3）四面体
的表面积为
．（4）四面体
的内切球半径是
，则正确结论的序号为_________．

三、解答题 （本大题共8小题，其中有三个选做题选做一个，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

某市抽样调查了100位居民的某年的月均用水量（单位：吨）数据如下表：

（1）某市若规定人均月用水量的标准是3吨，并希望85%以上的居民的用水量不超过此标准，请估计是否能达预期希望？

（2）请估计该样本数据的中位数．

（3）拟抽查上表中月均用水量在
的6位居民中的2位进行调查，求恰好抽到一位在
，另一位在
的概率．

18.（本小题满分12分）

设等比数列
的前
项和为
，已知
，且
成等差数列．

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，求数列
的前
项和
．

19.（本小题满分12分）

如图，空间几何体
中，四边形
是梯形，四边形
是矩形，且平面
平面
，
，
是线段
上的动点．

（1）试确定点
的位置，使
平面
，并说明理由；

（2）在（1）的条件下，平面
将几何体
分成两部分，求空间几何体
与空间几何体
的体积之比；

20.（本小题满分12分）

已知圆
，圆
．

（1）过
的直线
截圆
所得的弦长为
，求该直线
的斜率；

（2）动圆
同时平分圆
与圆
的周长；

①求动圆圆心
的轨迹方程；

②问动圆
是否过定点，若经过，则求定点坐标；若不经过，则说明理由．

21.（本小题满分12分）

已知函数
．

（1）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（2）当
时，试判断方程
有几个实数根，并说明理由；

（3）若
（
是自然对数的底）时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．

选做题（在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号）.

22.（本小题满分10分）

如图，
是圆的切线，
是切点，
是
的中点，过点
作圆的割线交圆于点
，连接
分别交圆于点
与
的交点为
．

求证：（1）
；（2）
．

23.（本小题满分10分）

已知直线：
（
为参数）恒过椭圆
（
为参数）的右焦点
．

（1）求椭圆的离心率；

（2）设直线与椭圆交于
两点，求
的最大值．

24.（本小题满分10分）

设函数
．（1）解不等式：
；（2）若
对一切实数
均成立，求
的取值范围．

参考答案

选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

D

B

B

B

D

A

A

B

C

D

B



5．B

【解析】求最大公约数，辗展相除法

．（必修三例题改编而来）

7．A

【解析】（必修四
第4题改编而来）

8．A

【解析】据题意画四面体如图得，故选A

9．B

【解析】∵
，令
，

由
得
，依题意有
在
是减函数，

∴
，即
，故选
．

10．Ｃ

【解析】作图后，
，

．（必修一
改编而来）

11．D

【解析】
，∴
，

∴
，
，

∴
，∴
，∴
，故选D．

解法二：特值法，由
，令
，可得
．

12．B

【解析】令
，则
，

则
，得
为
上的奇函数．

∵
时，
，故
在
单调递增，

再结合
及
为奇函数，知
在
为增函数，

又
，

则
，即
．故选B．

另法：构造
．

填空题：

13．
　　

14．40%；25%

【解析】（必修三
改编而来）

15．

【解析】设标准方程为
，由题意可知，
，

∴
，∵
，∴
，
．
，∴
，∴
，∴
，

∴椭圆的方程为
．

16．（1）（2）（3）

三、解答题：

17．【解析】（1）超标的有0.06+0.04+0.02=12%，未超标的为88%，故估计能达到预期．．．．．．．．．．．．4分

（2）0.04+0.08+0.15+0.22=0.49，设
，

得
，中位数
　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

（3）6选2共有15种（略），满足题设要求的有
种，故概率为
．．．．．．．．12分

（必修三例题改编而来）

18．（本小题满分12分）

则
，∴
，∴
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）当
时，
，当
时，
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

当
时，
，

，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

两式相减，得
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

∴
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

∴
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

19．【解析】

（1）当
是线段
的中点时，
平面
，…………………………………1分

证明如下：

连结
交
于
，连结
，由于
分别是
的中点，所以
，又
在平面