湖南省2016届高三六校联考试题

数学（理科）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.命题“若
都是偶数，则
也是偶数”的逆否命题是（ ）

A．若
不是偶数，则
与
都不是偶数

B．若
是偶数，则
与
不都是偶数

C．若
是偶数，则
与
都不是偶数

D．若
不是偶数，则
与
不都是偶数

3.若执行右边的程序框图，输出
的值为6，则判断框中应填入的条件是（ ）

A．
B．
C．
D．

4.下列函数中在
上为减函数的是（ ）

A．
B．
C．
D．

5.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间
的人做问卷
，编号落入区间
的人做问卷
，其余的人做问卷
，则抽到的人中，做问卷
的人数为（ ）

A．15 B．7 C．9 D．10

6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为：

A．
B．
C．
D．

7.若
的展开式中的常数项为
，则
的值为（ ）

A．6 B．20 C．8 D．24

8.若函数
图像上存在点（x，y）满足约束条件
，则实数m的最大值为（ ）

A. 1 B. 3/2 C. 2 D. 1/2

9.已知数列
的通项公式
，其前
项和为
，将数列
的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列
的前3项，记
的前
项和为
，若存在
，使对任意
，总有
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

10.已知两个不相等的非零向量
，两组向量
和
均由2个
和3个
排成一列而成．记
表示
所有可能取值中的最小值，则下列正确的是（ ）

A．
B．

C．若
，则
与
无关 D．
有5个不同的值

11.设
，若对任意的正实数
，都存在以
为三边长的三角形，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．以上均不正确

12.已知
分别为椭圆
的左、右顶点，不同两点
在椭圆
上，且关于
轴对称，设直线
的斜率分别为
，则当
取最小值时，椭圆
的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

13.已知复数
，则
=________．

14.在
中，
的面积为4，则
的长为_________．

15.已知圆
与圆
相交于
两点，且满足
，则
________．

16.给出下列命题：

（1）设
与
是定义在
上的两个函数，若
恒成立，且
为奇函数，则
也是奇函数；

（2）若
，都有
成立，且函数
在
上递增，则
在
上也递增；

（3）已知
，函数
，若函数
在
上的最大值比最小值多
，则实数
的取值集合为
；

（4）存在不同的实数
，使得关于
的方程
的根的个数为2个、4个、5个、8个．则所有正确命题的序号为________．

三、解答题 ：本大题共8小题，其中有3道选做题选做一道，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

已知数列
的前
项和为
，常数
，且
对一切正整数
都成立．

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，当
为何值时，数列
的前
项和最大？

18.（本小题满分12分）

如图，在多面体
中，
平面
，
，且
为等边三角形，
，
与平面
所成角的正弦值为
．

（1）若
是线段
的中点，证明：
平面
；

（2）求二面角
的平面角的余弦值．

19.（本小题满分12分）

某学校有120名教师，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按
分组，其频率分布直方图如图所示，学校要求每名教师都要参加
两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表示，假设两项培训是相互独立的，结业考试成绩也互不影响．

年龄分组


项培训成绩优秀人数


项培训成绩优秀人数





30

18





36

24





12

9





4

3



（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求从年龄段
抽取的人数；

（2）求全校教师的平均年龄；

（3）随机从年龄段
和
内各抽取1人，设这两人中
两项培训结业考试成绩都优秀的人数为
，求
的概率分布和数学期望．

20.（本小题满分12分）

已知抛物线方程为
，其焦点为
，点
为坐标原点，过焦点
作斜率为
的直线与抛物线交于
两点，过
两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点
．

（1）求
；

（2）设直线
与抛物线交于
两点，且四边形
的面积为
，求直线
的斜率
．

21.（本小题满分12分）

已知函数
（
为常数，
是自然对数的底数），曲线
在点
处的切线与
轴垂直．

（1）求
的单调区间；

（2）设
，对任意
，证明：
．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）

如图，
是
的直径，弦
的延长线相交于点
，
垂直于
的延长线于点
．

（1）求证：
；

（2）若
，
，求
的长．

23.（本小题满分10分）

已知曲线
的极坐标方程是
，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线
的参数方程是
（
为参数）．

（1）求曲线
的直角坐标方程和直线
的普通方程；

（2）设点
，若直线
与曲线
交于
两点，且
，求实数
的值．

24.（本小题满分10分）

函数
．

（1）求函数
的定义域
；

（2）设
，当实数
时，证明：
．

参考答案

选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

D

C

C

D

A

A

D

D

C

A

D



9.D 【解析】由题意知
，设等比数列
的公比为
，则
，

∴
为递增数列，得
．

又
，故
，若存在
，使对任意
，总有
，则
，得
，故选D．

10.C 【解析】
可能的取值有3种情况：
，

．
，所以
，若
，若
，则
与
无关，故选C．

11．A 【解析】因
为正实数，则
，要使
为三边的三角形存在，则
，即
恒成立，故
，令
，则
，取

故实数
的取值范围是
，故选A．

12．D 【解析】设点
则
，∴
，从而

，设
，

令
，则
即
，

，当且仅当
即
取等号，取等号的条件一致，此时
，∴
．故选D．

二、填空题

13．

14．4或
【解析】
，得
，

∴
．∴
，

∴
或
．

15．
【解析】相交弦
所在直线方程为