湖南省四县（市区）2016届高三3月联考

文科数学试题

时量 120分钟 总分 150分

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对条形码上的准考证号、姓名、考试科目与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答的答案无效。

3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷

一：选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设集合
，则

A．
B．
C．
D．

2．已知向量
，若
，则

A．
B．
C．
D．

3．已知
为虚数单位，则

A．
B．
C．
D．

4．某书法社团有男生
名，女生
名，从中抽取一个
人的样本，恰好抽到了
名男生和
名女生．(1)该抽样一定不是系统抽样；(2)该抽样可能是随机抽样；(3)该抽样不可能是分层抽样；(4)男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率．其中说法正确的为

A．(1)(2)(3) B．(2)(3) C．(3)(4) D．(1)(4)

5．若圆
的半径为
，其圆心与点
关于直线
对称，则圆
的标准方程为

A．
B．

C．
D．

6．如图，正方体
的棱长为1，
是线段
上的两个动点，且
，则下列结论中错误的是

A．
；

B．三棱锥
的体积为定值；

C．
平面

D．面直线
、
所成的角为定值。

7．函数

的图象如图所示，则
等于

A．
B．

C．
D．

8．偶函数
在
上递减，则

大小为

A．
B．
C．
D．

9．已知集合A-{1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为
，现将组成
的三个数字按从小到大排成的三位数记为
，按从大到小排成的三位数记为
（例如
，则
，
），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个
，则输出
的值为

A．792 B．693

C．594 D．495

10．等差数列
的前
项和为
，若
，则数列
的公差为

A．
B．
C．
D．

11．如图，正方体
中，
为棱
的中点，用过点
的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为

A B C D

12．已知函数
，若方程
有且仅有两个不等的实根，则实数
的取值范围是

A．
B．

C．
D．

二：填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

13．等差数列
中，
，则这个数列的前
项和为 .

14．直线
与曲线
相切于点
，则
的值为

15．已知正数
，
满足约束条件
，则
的最小值为 .

16．已知抛物线
的焦点为
，准线为
，过点
的直线交抛物线于
两点，过点
作准线
的垂线，垂足为
，当
点的坐标为
时，
为正三角形，则此时
的面积为 .

三：解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.(本小题满分12分)

设△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且b(cosA－3cosC)＝(3c－a)cosB.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若cosB＝，且△ABC的周长为14，求b的值．

18. (本小题满分12分)

如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1＝∠CC1B1＝60°，AC＝2.

（Ⅰ）求证：AB1⊥CC1；

（Ⅱ）若AB1＝，求四棱锥A－BB1C1C的体积．

19.(本小题满分12分)

某微信群包括群主在内共有60人，春节期间，群主发60个随机红包（即每个人抢到的红包中的钱数是随机的，且每人只能抢一个）．红包被一抢而空．据统计，
个红包中钱数（单位：元）分配如右频率分布直方图所示（其分组区间为
，
，
，
，
）．

（Ⅰ）试估计该群中某成员抢到钱数不小于
元的概率；

（Ⅱ）若该群中成员甲、乙二人都抢到
元红包，现系统将从抢到
元及以上红包的人中随机抽取
人给群中每个人拜年，求甲、乙二人至少有一人被选中的概率．

20.(本小题满分12分)

已知椭圆E的两焦点分别为(－1,0)，(1,0)，且经过点.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）过P(－2,0)的直线l交E于A，B两点，且＝3，设A、B两点关于x轴的对称点分别是C、D，求四边形ACDB的外接圆的方程．

21.(本小题满分12分)

设函数
，

（Ⅰ）当
时，求函数
的单调区间；

（Ⅱ）如果对任意的
、
，都有
成立，求实数
的取值范围．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．

22．（本小题满分10分）【选修4一1：几何证明选讲】

如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：

①BE＝EC；

②AD·DE＝2PB2.

23．（本小题满分10分）[选修4－4：坐标系与参数方程]

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度．设圆C：(θ为参数)上的点到直线l：ρcos＝k的距离为d.

当k＝3时，求d的最大值；

②若直线l与圆C相交，试求k的取值范围．

24.（本小题满分10分）[选修4－5：不等式选讲]

已知实数m，n满足：关于x的不等式|x2＋mx＋n|≤|3x2－6x－9|的解集为R.

①求m、n的值；

若a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝m－n，求证：＋＋≤.

2016年3月高三模拟考试

文科数学（参考答案）

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

B

D

B

C

D

A

A

D

B

C

C





二、填空题

13. 26 14. 1 15.
16 .

三、解答题

17.解(1)由正弦定理得，

(cosA－3cosC)sinB＝(3sinC－sinA)cosB，

化简可得sin(A＋B)＝3sin(B＋C)． 5分

又A＋B＋C＝π，

所以sinC＝3sinA，因此＝. 6分

(2)由＝得c＝3a，

由余弦定理及cosB＝得

b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋9a2－6a2×＝9a2. 10分

所以b＝3a.又a＋b＋c＝14，

从而a＝2，因此b＝6. 12分

18.(1)证明：连接AC1，CB1，

则△ACC1和△B1CC1皆为正三角形． 1分

取CC1的中点O，连接OA，OB1，

则CC1⊥OA，CC1⊥OB1， 3分

则CC1⊥平面OAB1，则CC1⊥AB1. 5分

(2)由(1)知，OA＝OB1＝，又AB1＝， 6分

所以OA⊥OB1.又OA⊥CC1，OB1∩CC1＝O，

所以OA⊥平面BB1C1C. 10分

S?BB1C1C＝BC×BB1sin60°＝2，

故VA－BB1C1C＝S?BB1C1C×OA＝2. 12分

19.解：（1）根据频率分布直方图可得：

该群中抢到红包的钱数不小于
元的[频率是：

所以估计该群中某成员抢到钱数不小于
元的[频率是
4分

（2）该群中抢到红包的钱数不小于
元的[频率是
，对应的人数是

记为：
甲，乙

现从这
人中随机抽取
人，基本事件数是：

甲，
乙；
甲，
乙；
甲，
乙；
甲，
乙，甲乙；

共
种 8分

其中甲、乙两人中至少有一人被选中的基本事件为：
甲，
乙，
甲，
乙；

甲，
乙；
甲，
乙，甲乙；共
种， 10分

所以对`应的概率为：
12分

20．解：(1)由题意知c＝1,2a－＝，

∴a＝，b＝＝1， 3分

椭圆E的方程为＋y2＝1. 4分

(2)设l：x＝my－2，代入椭圆方程得(m2＋2)y2－4my＋2＝0，

由Δ＝8m2－16＞0得m2＞2. 6分

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则y1＋y2＝，①y1y2＝.② 7分

由＝3，得y2＝3y1.③ 8分

由①②③解得m2＝4，符合m2＞2.

不妨取m＝2，则线段AB的垂直平分线的方程为y＝－2x－，

则所求圆的圆心为. 9分

又B(0,1)，

∴圆的半径r＝. 11分

∴圆的方程为2＋y2＝. 12分

21．解(1) 当
时，h(x)＝
＋ln x，（
）

所以h′(x)＝－
＋＝
=
2分

令h′(x)＞0，得x＞
，即函数h(x)的单调递增区间为(
，＋∞)；

令h′(x)<0，得0

(2)由g(x)＝x3－x2－3得g′(x)＝3x2－2x＝3x， 6分

因为g＝－，g＝－，g(2)＝1，

所以g(x)max＝1(其中x∈)， 7分

故对任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，

等价于当x∈时，f(x)＝＋xln x≥1恒成立，

等价于a≥x－x2ln x恒成立，

记F(x)＝x－x2ln x，所以a≥F(x)max·F′(x)＝1－2xln x－x，

F′(1)＝0.令m(x)＝1－2xln x－x，m′(x)＝－3－2ln x， 9分

当x∈