湖南省2016届高三六校联考试题

数学（文科）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集
，集合
，则集合
可以表示为（ ）

A．
B．
C．
D．

2.已知
，
是虚数单位，若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3.下列各组命题中，满足“‘
’为真、‘
’为假、‘
’为真”的是（ ）

A．

B．
是
成立的充分不必要条件；

C．
不等式
的解集是

D．
在定义域内是增函数；
是偶函数

4.已知向量
，且
，则实数
（ ）

A．
B．3 C．
D．0

5.已知等差数列
的公差为2，若
成等比数列，
是
的前n项和，则
等于（ ）

A. -8 B. -6 C. 10 D. 0

6.已知2是函数
的一个零点，则
的值是（ ）

A．3 B．2 C．1 D．

7.已知
满足
，目标函数
的最大值为
，则
的最小正击期是（ ）

A．
B．
C．
D．

8.阅读如图所示的程序框图，若输出的结果
，则整数
的值为（ ）

A．2017 B．2016 C．2015 D．2014

9.如图所示是一个几何体的三视图，若该几何体的外接球的表面积是
，则正视图中三角形的高
的值为（ ）

A．1 B．2 C．
D．

10.已知函数
的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）

A．

B．
关于直线
对称

C．
在
上的值域为

D．
的增区间为

11.圆心在曲线
上，且与直线
相切的面积最小的圆的方程为（ ）

A．
B．

C．
D．

12.已知函数
，
，设方程
的根从小到大依次为
，则数列
的前
项和为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

13.如图是某学校一名篮球运动员在10场比赛中所得分数的茎叶图，若这10场比赛复仇的众数为16，则这10场比赛得分的中位数为 ________．

14.函数
在点
处的切线为
，数列
的前
项和为
，且点
在直线
上，则数列
的通项
_________．

15.若以双曲线
的左、右焦点
和点
为顶点的三角形为直角三角形，则
的焦点坐标为 ________．

16.给定两个平面向量
和
，它们的夹角为120°，且
，点
在以
为圆心
为半径的圆弧
上，若
（其中
），则满足
的概率为________．

三、解答题 ：本大题共8小题，其中有3道选做题选做一道，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

在
中，
分别为内角
的对边，且
．

（1）求角
的大小；

（2）设函数
时，求
．

18.（本小题满分12分）

某组同学将高中学生课外阅读情况作为一个研究性课题，他们随机调查了100名同学，其中55个女同学，45个男同学，下图是根据调查结果绘制的周课外阅读时间的频率分布直方图，将周阅读时间不低于4小时的同学称为“阅读爱好者”，已知“阅读爱好者”中有10个女同学．

非阅读爱好者

阅读爱好者

合计



男









女









合计











（1）根据已知条件完成
列联表，并据此资料你能否有95%的把握认为是否为“阅读爱好者”与性别有关？

（2）将周阅读时间不低于5小时的同学称为“读书迷”，已知“读书迷”中有2名女同学，若从“读书迷”中任意选取2人，求至少有1名女同学的概率．

附
，

19.（本小题满分12分）

如右图，平行四边形
中，
，将
分别沿
折起，使
．

（1）求证：
；

（2）若四棱锥
的体积为
，求
长并求点
到面
的距离．

20.（本小题满分12分）

在圆
上任取一个动点
，作
轴于
满足
，当
在圆上运动时，
的轨迹为曲线
．

（1）求曲线
的方程；

（2）曲线
与
轴正半轴、
轴正半轴分别交于
、
，直线
与曲线
交于
、
，当四边形
面积最大时，求
的值．

21.（本小题满分12分）

已知定义在
上的函数
．

（1）求此函数的单调区间；

（2）若过点
有且仅有一条直线与函数
的图象相切，求
的取值范围．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）

如图，
为圆的直径，过
作
的外接圆的切线
与外接圆交于点
．

（1）求证：
；

（2）若
，求
长．

23.（本小题满分10分）

已知直线
经过点
，倾斜角
，圆
（
为参数）．

（1）写出圆
的普通方程和直线
的参数方程；

（2）设直线
与圆
相交于两点
、
，求点
到
、
两点的距离之积．

24.（本小题满分10分）

设函数
．

（1）当
时，解不等式
；

（2）若
的解集为
，
，求证：
．

参考答案

选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

B

B

C

D

A

B

C

D

C

A

B



1.C 【解析】1，2两个元素属于
，故应取
与其它集合的交集，又不属于
，故其在
的补集内，选C．

2.B 【解析】∵
，∴
，则
，故选B．

3．B 【解析】由题，应选
为真、
为假的选项．A中
、
都为假；D中
为假、
为真；C中
、
都为真；B中
为真，
为假，故选B．

4．C 【解析】

5．D 【解析】由题：
，解得 ：
，选D．

6．A 【解析】由题
，∴
；
，选A．

7．B 【解析】题中不等式组表示的是一个三角形区域
，其中
，目标函数
在
取得最大值，最大值为3，故
的最小正周期是
，选B．

8．C 【解析】该框图为求和：
，结果为
，说明输出时
中的
，进入下一步运算后
，故
．

9．D 【解析】可以把该几何体补形成一个长方体，三棱长分别为
，
，
，其体对角线即其外接球的直径为：
，外接球的表面积为
，解得：
，选D．

10．C 【解析】由图，
．

11．A 【解析】设圆心
，圆心到直线
的距离为：
，

当
时，最小距离为
，故所求圆的方程为
，选A．

12．B 【解析】函数
的图象如图所示，

时，
时，
时，
，

所以方程
的根从小到大依次为1，3，5，…，数列
从小到大依次为1，2，4，…，组成以1为首项，2为公比的等比数列，

所以数列
的前
项和为
，故选B．

二、填空题

13．15 【解析】得分的众数为16，故
，中位数为
．

14．
【解析】函数
在点
处的切线为
，

∴
，

∴
，

∴
时，

，

∴
时，
．

15．
【解析】显然点
为直角顶点，所以
，∴
．

16．
【解析】不妨设
，以
为原点，
为
轴正半轴，建立直角坐标系，则
，

设
，则
，

所以
，
，

得
，故满足
的概率为
．

解答题

17．【解析】（1）在
中，因为
，

由余弦定理可得
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

∵

∴
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）
，

，∴
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．