2016年3月高三模拟考试

理科数学试题卷

时量 120分钟 总分 150分

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对条形码上的准考证号、姓名、考试科目与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答的答案无效。

3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

一：选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知复数
，则
对应的点所在的象限为

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知
，且
，则
为

A．
B．
C．
D．

3．下列命题中，真命题是

A．
，
B．
，

C．
的充要条件是
D．
，
是
的充分条件

4．在如图所示的正方形中随机投掷
个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N(－1,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为

A．
B．
C．
D．

5.若圆C:
关于直线
对称，则由点
向圆所作的切线长的最小值是

A．
B．
C．
D．

6．如图，正方体
的棱长为1，
是线段
上的两个动点，且
，则下列结论中错误的是

A．
；

B．三棱锥
的体积为定值；

C．
平面

D．异面直线
、
所成的角为定值。

7．如图，在△ABC中，设
，
，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若
，则
对应的值为

A．
B．
C．
D．

8．函数

的图象如图所示，则
等于

A．
B．

C．
D．

9．已知集合A-{1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，

记这个三位数为
，现将组成
的三个数字按从小到大排成的三位数记为
，按从大到小排成的三位数记为
（例如
，则
，
），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个
，则输出
的值为

A．792 B．693

C．594 D．495

10．如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有

A．
B．
C．
D．

11．如图，正方体
中，
为棱
的中点，用过点
的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为

A B C D

12．对于曲线
所在平面内的点
，若存在以
为顶点的角
，使得
对于曲线
上的任意两个不同点
、
恒成立，则称
为曲线
相对于
的“界角”，并称最小的“界角”为曲线
相对于
的“确界角”，已知曲线
：
，(其中
为自然对数的底数)，
为坐标原点，则曲线
相对于
的“确界角”为

A．
B．
C．
D．

二：填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

13.若函数
，
为偶函数，则实数

14.若抛物线
上两点
、
关于直线
对称，且
，则实数
的值为

15.若
满足
且
的最大值为4，则
的值为 .

16.已知
是圆心在坐标原点
的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且
点的纵坐标为
，
点的横坐标为
，则COS
= .

三：解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

已知数列
的前
项和为
，
，
。

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）求数列
的通项公式。

18．（本小题满分12分）

如图，四棱锥
中，底面
是矩形，
底面
，
，
，点
是
的中点，点
在边
上移动．

（Ⅰ）点
为
的中点时，试判断
与平面
的位置 关系，并说明理由；

（Ⅱ）当
为何值时,
与平面
所成角的大小为

19. （本小题满分12分）

小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”, 并用计步器进行统计.小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（图1）及相应的消耗能量数据表（表1）如下.

图1 表1

（Ⅰ）求小王这
天 “健步走”步数的平均数；

（Ⅱ）从步数为
千步、
千步、
千步的几天中任选
天，设小王这
天通过健步走消耗的“能量和”为
，求
的分布列.

20. （本小题满分12分）

已知椭圆
：
的离心率为
，点
在椭圆
上.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设动直线
与椭圆
有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点
为圆心的圆，满足此圆与
相交两点
、
（两点均不在坐标轴上），且使得直线
、
的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.

21.（本小题满分12分）

已知函数
．

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若存在
，使得
（
是自然对数的底数），

求实数
的取值范围。

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．

22、（本小题满分10分）【选修4一1：几何证明选讲】

如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：

①BE＝EC；

②AD·DE＝2PB2.

23.（本小题满分10分）[选修4－4：坐标系与参数方程]

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度．设圆C：(θ为参数)上的点到直线
的距离为d.

①当k＝3时，求d的最大值；

②若直线l与圆C相交，试求k的取值范围．

24.（本小题满分10分）[选修4－5：不等式选讲]

已知实数
、
满足：关于
的不等式
的解集为R。

①求
、
的值；

②若
、
、

，且
，求证：

2016年3月高三模拟考试

理科数学（参考答案）

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

D

D

C

D

A

A

D

D

C

B





二、填空题

13.
14.
15.
16 .

三、解答题

17. 解：（1）
4分

又

6分

由
，求得
8分

由
知 数列
和
都是公差为4的等差数列

12分

18. 解：(1)当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．

∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，

∴EF∥PC. 2分

又EF
平面PAC，

而PC
平面PAC

∴EF∥平面PAC. 4分

(2)证明：建立如图所示空间直角坐标系，则

P(0,0,1)，B(0,1,0)，F(0，，)，D(，0,0)， 6分

设平面PDE的法向量为
，

由
，即

可得
． 9分

而
，依题意PA与平面PDE所成角为45°，

所以
∴
， 10分

得
或
(舍)． 11分

故BE＝－时，PA与平面PDE所成角为45° 12分

19. 解：(I) 小王这8天 “健步走”步数的平均数为

（千步）. 4分

（II）
的各种取值可能为800，840，880，920. 5分

,

9分

的分布列为：

800

840

880

920















12分

20.（Ⅰ）解：由题意，得
，
， 2分

又因为点
在椭圆
上，

所以
， 3分

解得
，
，
，

所以椭圆C的方程为
. 5分

（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为
. 6分

证明如下：

假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为
.

当直线
的斜率存在时，设
的方程为
. 7分

由方程组
得
， 8分

因为直线
与椭圆
有且仅有一个公共点，

所以
，即
. 9分

由方程组
得
， 10分

则
.

设
，
，则
，
， 11