高三年级市三模前模考数学试题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．已知集合
，
，则M∩N＝ ▲ ．

2．复数
(
为虚数单位)的共轭复数为 ▲ ．

3.从
这五个数中任取两个数，这两个数的和是奇数的概率为 ▲ ．

4．运行如图语句，则输出的结果
▲ ．

5. 已知某幼儿园大班有30名幼儿，从中抽取6名，分别统计他们的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，则该样本的方差为 ；

6. 已知等比数列
中，各项都是正数，且
成等差数列，则
等于 ▲ ．

7. 正方形铁片的边长为8cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为
的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于_▲__cm3.

8. 已知向量a，b，满足|a|＝1，| b |＝，a＋b＝(，1)，则向量 a＋b与向量a－b的夹角是 ▲ ．

9. 在锐角三角形
中，
，
，则
的值为 ▲ ．

10. 在
中，
，
点是内心，且
，则
▲ ．

11.已知圆
：
，
为坐标原点，若正方形
的一边
为圆

的一条弦，则线段
长度的最大值是 ▲ ．

12.如图，点
分别是椭圆

的上顶点和右焦点，过中

心
作直线
的平行线交椭圆于
两点，若
的长是焦距的
倍，

则该椭圆的离心率为 ▲ .

13. 从
轴上一点
分别向函数
与函数
引不是水平

方向的切线
和
，两切线
、
分别与
轴相交于点
和点
，
为坐

标原点，记
的面积为
，
的面积为
，则
的最小值为 ▲ ．

14. 已知对于一切x，y∈R，不等式
恒成立，则实数a的取值范围是 ▲ ．

二、解答题：解答题：本大题共6小题，共90分. 请把答案填写在答题卡相应位置上．

15．（本小题满分14分）

如图，在
平面上，点
，点
在单位圆上，
（
）

（1）若点
，求
的值；

(2）若
，
，求
.

16.（本小题满分14分）

在正三棱柱
中，点
是
的中点，
．

（1）求证：
∥平面
；

（2）试在棱
上找一点
，使
．

17.（本小题满分14分）

如图，摄影爱好者
在某公园
处，发现正前方
处有一立柱，测得立柱顶端
的仰角和立柱底部
的俯角均为
，已知
的身高约为
米（将眼睛距地面的距离按
米处理）.

(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；

(2) 立柱的顶端有一长2米的彩杆
绕中点
在
与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为
的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．

18. (本小题满分16分)

在平面直角坐标系
中，椭圆

的离心率为
，右焦点为
，且椭圆
上的点到点
距离的最小值为
．

（1）求
，
的值；

（2）设椭圆
的左、右顶点分别为
，过点
的直线
与椭圆
及直线
分别相交于点
．

①当过
三点的圆半径最小时，求这个圆的方程；

②若
，求
的面积．

19.（本小题满分16分）

已知函数
，其中
是自然对数的底数．

（1）若
，求函数
的单调区间；

（2）设
，求证：
；

（3）设
， 是否存区间
,使得
时，
的值域也是
？若存在，请求出一个这样的区间； 若不存在，请说明理由．

20．已知数列
满足：
其中
，数列
满足：

（1）求
；

（2）求数列
的通项公式；

（3）是否存在正数k，使得数列
的每一项均为整数，如果不存在，说明理由，如果存在，求出

所有的k的取值。

附加题 部分

第Ⅱ卷（附加题，共40分）

21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．

A．（选修４－１：几何证明选讲）如图，已知
为圆O的直径，直线
与圆O相切于点
，直线
与弦
垂直并相交于点
，与弧
相交于
，连接
,
,
.

（1）求证：
;

（2）求
．

B．（选修４－２：矩阵与变换）设
是把坐标平面上的点的横坐标伸长到
倍，纵坐标伸长到
倍的伸压变换．

（1）求矩阵
的特征值及相应的特征向量；

（2）求逆矩阵
以及椭圆
在
的作用下的新曲线的方程．

C．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知曲线
的参数方程为
，曲线
的极坐标方程为
．

（1）将曲线
的参数方程化为普通方程；

（2）曲线
与曲线
有无公共点？试说明理由．

D．（选修４－５：不等式选讲）设
求
的最大值.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.

22．某种植物种子每粒成功发芽的概率都为
，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败.若该研究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值.

（1）求随机变量ξ的数学期望E(ξ)；

（2）记“函数f(x)= x2－
x-1在区间（2，3）上有且只有一个零点”为事件A，

求事件A发生的概率P（A）．

23．过抛物线
(
为不等于2的素数)的焦点F,作与
轴不垂直的直线
交抛物线于M,N两点,线段MN的垂直平分线交MN于P点,交
轴于Q点.

(1)求PQ中点R的轨迹L的方程;

(2).证明:L上有无穷多个整点,但L上任意整点到原点的距离均不是整数.

高三年级市三模前模考数学答案

14.
.【解析】数形结合

15. （1）由于
，
，所以
，
，

所以
， 所以
；

（2）由于
,
,

所以
,

.

所以
，所以
，

所以
.

16．（1）证明：连接
，交
于点
, 连接
.

∵
、
分别是
、
的中点，

∴
∥
． ………3分

∵
平面
，
平面
，

∴
∥平面
． ………6分

（2）
为
的中点． ………7分

证明如下：

∵在正三棱柱
中，
，∴四边形
是正方形．

∵
为
的中点，
是
的中点，∴
， ………9分

∴
，
．

又∵
，
，∴

．∵
是正三角形，
是
的中点，∴
．

∵平面
平面
, 平面
平面
，
平面
，

∴
平面
．∵
平面
，∴

．∵
，

∴
平面
．∵
平面
，

17.

18．解：（1）由已知，
，且
，所以
，
，所以
，

所以，
，
.

（2）①由⑴，
，
，设
．

设圆的方程为
，将点
的坐标代入，得

解得

所以圆的方程为
，

即
，

因为
，当且仅当
时，圆的半径最小，

故所求圆的方程为
．

②由对称性不妨设直线
的方程为
．

由
得
，

，
，

，

化简，得
，

解得
，或
，即
，或
，

此时总有
，所以
的面积为
．

19．解：（1）
，





















由表知道：①
时，
时，
，

函数
的单调增区间为
；②
时，
时，
，
时，
，

函数
的单调增区间为
，单调减区间为
；

（2）证明：
,

，