盐城市2016届高三年级第三次模拟考试

数 学 试 题

(总分160分，考试时间120分钟)

参考公式

1．锥体的体积公式：
，其中
为底面积,
为高.

2．样本数据
的方差
，标准差为
，其中
.

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．已知集合
，
，
，则集合
的子集的个数

为 ▲ .

2．若复数
满足
（
为虚数单位），则
▲ .

3．甲、乙两盒中各有除颜色外完全相同的
个红球和
个白球，现从两盒中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为 ▲ .

4．已知一组数据
的方差是
，则数据
的标准差为 ▲ .

5．如图所示，该伪代码运行的结果为 ▲ .

6．以双曲线
的右焦点
为圆心，
为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为 ▲ .

7．设
分别为三棱锥
的棱
的中点，三棱锥
的体积记为
，三棱锥
的体积记为
，则
= ▲ .

8．已知实数
满足约束条件
，则
的最大值为 ▲ .

9．若
是定义在
上的偶函数，则

▲ .

10．已知向量
满足
，
，
，则向量
的夹角为 ▲ .

11．已知线段
的长为
，动点
满足
（
为常数），且点
总不在以点
为圆心，
为半径的圆内，则负数
的最大值是 ▲ .

12．若函数
的图象上有且只有两点
，使得函数
的图象上存在两点
，且
与
、
与
分别关于坐标原点对称，则实数
的取值集合是 ▲ .

13．若数列
满足：对任意的
，只有有限个正整数
使得
成立，记这样的
的个数为
，则得到一个新数列
．例如，若数列
是
，则数列
是
. 现已知数列
是等比数列，且
，则数列
中满足
的正整数
的个数为 ▲ .

14．在
中，角
所对的边分别为
，若
为锐角三角形，且满足
，则
的取值范围是 ▲ .

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15．(本小题满分14分)

在
中，角
所对的边分别为
，已知
,
．

（1）当
成等差数列时，求
的面积；

（2）设
为
边的中点，求线段
长的最小值．

16．(本小题满分14分)

如图，四棱锥
中，底面
是矩形，
，
底面
，
分别为棱
的中点.

（1）求证：
平面
；

（2）求证：平面
平面
.

17．(本小题满分14分)

一位创业青年租用了一块边长为1百米的正方形田地
来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边
上分别取点
（不与正方形的顶点重合），连接
，使得
. 现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，
部分规划为蜂巢区，
部分规划为蜂蜜交易区. 若蜂源植物生长区的投入约为
元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为
元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？

18．(本小题满分16分)

在平面直角坐标系
中，已知椭圆
的左顶点为
，右焦点为
，
为椭圆
上两点，圆
.

（1）若
轴，且满足直线
与圆
相切，求圆
的方程；

（2）若圆
的半径为
，点
满足
，求直线
被圆
截得弦长的最大值.

19．(本小题满分16分)

已知函数
（
）.

（1）若函数
的最小值为
，求
的值；

（2）设函数
，试求
的单调区间；

（3）试给出一个实数
的值，使得函数
与
的图象有且只有一条公切线，并说明此时两函数图象有且只有一条公切线的理由.

20．(本小题满分16分)

已知数列
满足
，
，其前
项和为
.

（1）当
与
满足什么关系时，对任意的
，数列
都满足
？

（2）对任意实数
，是否存在实数
与
，使得
与
是同一个等比数列？若存在，请求出
满足的条件；若不存在，请说明理由；

（3）当
时，若对任意的
，都有
，求实数
的最大值.

盐城市2016届高三年级第三次模拟考试

数学附加题部分

（本部分满分40分，考试时间30分钟）

21．[选做题]（在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）

A.（选修4—1：几何证明选讲）

如图，
是圆
的直径，弦
的延长线相交于点
，
垂直
的延长线于点
，连结
.

求证：
.

B.（选修4—2：矩阵与变换）

已知矩阵
的两个特征向量
，
，若
，求
.

C．（选修4—4：坐标系与参数方程）

已知直线
的参数方程为
，曲线
的极坐标方程为
，试判断直线
与曲线
的位置关系.

D．(选修4—5：不等式选讲）

已知正数
满足
，求
的最小值.

[必做题]（第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）

22．（本小题满分10分）

甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，假设每局比赛中，甲胜乙的概率为
，甲胜丙、乙胜丙的概率都为
，各局比赛的结果都相互独立，第
局甲当裁判.

（1）求第
局甲当裁判的概率；

（2）记前
局中乙当裁判的次数为
，求
的概率分布与数学期望.

23．（本小题满分10分）

记
.

（1）求
的值；

（2）当
时，试猜想所有
的最大公约数，并证明.

盐城市2016届高三年级第三次模拟考试

数学参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.

1．8 2.
3.
4.
5. 11 6.
7.
8.

9.
10.
（或
） 11.
12. {
} 13.
14.

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.

15．解：（1）因为
成等差数列，所以
， …………2分

由余弦定理，得
，解得
， ……6分

从而
. …………8分

（2）方法一：因为
为
边的中点，所以
， …………10分

则

…………12分

，当且仅当
时取等号，

所以线段
长的最小值为
. …………14分

方法二：因为
为
边的中点，所以可设
，

由
，得
，

即
， …………10分

又因为
，

即
，所以
， …………12分

故
，当且仅当
时取等号，

所以线段
长的最小值为
. …………14分

16．证明：（1）取
的中点
，连接
. ..............2分

因为
分别是
的中点，

所以
，且
，

又
是
的中点，所以
，且
，

所以
，且
，

所以
是平行四边形，故
. ...............4分

又
平面
，
平面
，

所以
平面
. ...............6分

（说明：也可以取
中点，用面面平行来证线面平行）

（2）因为
底面
，