2016年南师附中、天一、淮阴、海门中学调研测试

数学I必做题部分

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求

1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．

2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．

3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．

4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

参考公式：

棱锥的体积公式：
，其中S是棱锥的底面积，h是棱锥的高.

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

1．设集合
，
，
，则实数
的值为 ▲ ．

2．设复数
满足
（
为虚数单位），则
▲ ．

3．右图是一个算法流程图，则输出的
的值是 ▲ ．

4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统

计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h

～120km/h，试估计
辆车中在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 ▲ 辆．

5．将函数
的图象沿
轴向左平移
个单位后，得到函数
的

图象，若函数
的图像过原点，则
▲ ．

6．已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为
，乙胜的概率为
，则甲胜的概率为 ▲ ．

7．设偶函数
在区间
上单调递增，则满足
的
的取值范围是

▲ ．

8．在等比数列
中，已知
，
，且公比为整数，则
▲ ．

9．如图，正四棱锥
的底面一边
长为
，侧面积为

，则它的体积为 ▲ ．

10．已知双曲线
的渐近线与圆

没有公共点， 则该双曲线的离心率的取值范围为 ▲ ．

11．若函数
且
的值域是
，则实

数
的取值范围是 ▲ ．

12．已知
外接圆
的半径为
，且
，
，则
▲ ．

13．已知
、
为正实数,则
的最小值为 ▲ ．

14．设
对任意
恒成立，其中
、
是整数，则
的取值的集

合为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（本小题满分14分）

在
中，角
所对的边分别为
，且
．

（1）求
的大小；

（2）设
的平分线
交
于
，
，
，求
的值．

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥
中，
，且
，
，
，点

在棱
上，且
．

（1）求证：平面
平面
；

（2）求证：
平面
．

17．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系
中，椭圆
的离心率
，且点
在

椭圆
上．

（1）求椭圆
的方程；

（2）若点
、
都在椭圆
上，且
中点
在线段
（不包括端点）上．

①求直线
的斜率；

②求
面积的最大值．

18．（本小题满分16分）

如图，
、
是海岸线
、
上的两个码头，
为海中一小岛，在水上旅游线
上．测

得
，
，
到海岸线
、
的距离分别为
，
．

（1）求水上旅游线
的长；

（2）海中

，且
处的某试验产生的强水波圆
，生成
小时时的半径

为
．若与此同时，一瘦游轮以
的速度自码头
开往码头
，

试研究强水波是否波及游轮的航行？

19．（本小题满分16分）

设
函数
，其中
是自然对数的底数，曲线
在点

处的切线方程为
．

（1）求实数
、
的值；

（2）求证：函数
存在极小值；

（3）若
，使得不等式
成立，求实数
的取值范围．

20．（本小题满分16分）

正项数列：
，满足：

是公差为

的等差数列，
是公比为
的等比数列．

（1）若
，求数列
的所有项的和
；

（2）若
，求
的最大值；

（3）是否存在正整数
，满足
？

若存在，求出
值；若不存在，请说明理由．

数学II（附加题）

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．[选修4?1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，已知圆上的弧
，过点
的圆的切线
与
的延长线交于点
．【来源：全,品…中&高*考+网】

（1）求证：
；

（2）求证：
．

B．[选修4?2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知矩阵
的一个特征值
所对应的一个特征向量
，求矩阵
的逆

矩阵
．

C．[选修4?4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在平面直角坐标系
中，以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
为
.曲线
上的任意一点的直角坐标为
,求
的取值范围．

D．[选修4?5：不等式选讲]（本小题满分10分）

己知关于
的不等式
的解集为
．

（1）求实数
的值；

（2）求
的最大值．

22．（本小题满分10分）

某商场举行抽奖促销活动，在该商场消费的顾客按如下规则参加抽奖活动：

消费金额
（元）









抽奖次数

1

2

4



抽奖中有9个大小形状完全相同的小球，其中4个红球、3个白球、2个黑球（每次只

能抽取一个，且不放回抽取）．若抽得红球，获奖金10元；若抽得白球，获奖金20元；

若抽得黑球，获奖金40元．

（1）若某顾客在该商场当日消费金额为2000元，求该顾客获得奖金70元的概率；

（2）若某顾客在该商场当日消费金额为1200元，获奖金
元，求
的分布列和
的值．

23．（本小题满分10分）

设函数
，数列
满足：
，
．

（1）求证：
时，
；

（2）求证：
；

（3）求证：
．

数学I参考答案

1.
；2.
；3. 5；4. 1700；5.
；6.
；7.
8. 512；9. 4；10.
；

11.
；12. 12；13.
；14.

15.解：（1）

………2分

………4分

（2）在
中,由正弦定理：

………6分

………8分

………10分

即
的值为
………14分

16．证明：

（1）

∥

………2分

又

平面
，
平面

平面
………6分

（2）连接
交
于
,连

∥

∽
………8分

………10分

又

∥
………12分

平面
,
平面

平面
………14分

17.解：（1）由题意得：
………2分

所以椭圆
的方程为
………4分

（2）①法一、设
，直线AB的斜率为

则

………6分

又直线
:
,
在线段
上, 所以

所以
………8分

法二、设
，直线AB的方程为
，

则

由题意，

所以
………6分

又直线
:
,
在线段
上, 所以