姜堰区2015—2016学年度第二学期期初考试

高三数学

(考试时间：120分钟 总分：160分)

注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）

1．设U=R,A={x|x<1} 则CUA=? .

2．计算i+i3= （i为虚数单位）．

3．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁

的有80人，为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工

中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 人。

4．如图是一个算法的流程图，最后输出的S＝________.

5．若以连续掷两次骰子得到的点数m,n分别作为点P的横、纵坐标，则

点P在直线x+y=4上的概率为 ．

6．函数f(x)=2sinx+3cosx的极大值为 .

7．抛物线y2=4x上任一点到定直线l:x=-1的距离与它到定点F的距离相等，则该定点F的坐标为 ．

8．等差数列{an}的前n项和记为Sn，满足2n=
，则数列{an}的公差d= ．

9．函数 f(x)=ex可以表示成一个奇函数 g(x) 与一个偶函数h(x) 之和，则g(x)? 。

10.圆C过点A(2,0),B(4,0)，直线l过原点O，与圆C交于P，Q两点，则OP·OQ= 。

11．已知非零向量
满足x2
+x
+
=0,x∈R．记△=
2-4

c，下列说法正确的是

.（只填序号）

①若△=0，则x有唯一解；

②若△>0，则x有两解；

③若△<0，则x无解。

12．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)= f(x)，且在[0,2]?上f(x)=

? 则
_______.

13．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表，

设aij(i,j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左

往右数第j个数，如a42=8,若aij=2015，则i+j= ?

14．在平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=1，AD=
，P为平行四边形内一点，且AP=
，若
，则
的最大值为___________．

二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15．（本题满分 14 分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱PD?底面ABCD，PD=DC=1，点E是PC的中点，作EF
PB交PB于点F.

（Ⅰ）求证：PA∥平面EBD

（Ⅱ）求证：PB
平面EFD

16．（本题满分14分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA，且B为钝角．

(Ⅰ)证明：B-A=
；

(Ⅱ)求sinA+sinC的取值范围．

17．（本题满分14分）已知数列{an}为等差数列，首项a1=5,公差d= -1，数列{bn}为等

比数列，b2=1，公比为q（q>0），cn=anbn，Sn为{cn}的前n项和，记Sn=c1+c2+..+cn.

（Ⅰ）求b1+b2+b3的最小值；

（Ⅱ）求S10；

（Ⅲ）求出使Sn取得最大的n的值。

18．（本题满分16分）已知美国苹果公司生产某款iPhone手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设苹果公司一年内共生产该款iPhone手机x万只并全

部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝
?

(Ⅰ)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；

(Ⅱ)当年产量为多少万只时，苹果公司在该款iPhone手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．

19．（本题满分 16 分）在平面直角坐标系 xoy 中，离心率为
的椭圆C：

(a>b>0)的左顶点为A，且A到右准线的距离为6，点P、Q是椭圆C上的两个动点。

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)如图，当P、O、Q共线时，直线PA,QA分别与y轴交于M,N两点，求证：

为定值；

（Ⅲ）设直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2，当k1·k2= -1时，证明直线PQ经过定点R。

20．（本题满分16分）已知函数f(x)=lnx，

（Ⅰ）若方程f(x+a)=x有且只有一个实数解，求a的值；

（Ⅱ）若函数g(x)=f(x) +
x2 – mx ( m≥
)的极值点 x1,x2(x1

h(x)=f(x)-cx2-bx的零点，求的y=( x1 - x2)h’(
)最小值。

数学试题(附加题)

(考试时间：30分钟 满分：40分)

21.（［选做题］请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．

A．（本小题满分10分，几何证明选讲）

21．如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.

(1)证明：CD∥AB;

(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G， F四点共圆．

B．（本小题满分10分，矩阵与变换）

已知矩阵
．

（1）求A 的逆矩阵A-1；

（2）求矩阵A的特征值
、
和对应的一个特征向量
．

C．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）

在直角坐标系xoy内，直线l的参数方程
（t为参数），以OX为极轴建立极坐

标系，圆C的极坐标方程为
．

（１）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；

（２）确定直线l和圆C的位置关系．

D．（本小题满分10分，不等式选讲）

设 x，y，z∈R+，求证：

［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22.(本小题满分10分)

如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA是四棱锥的高，

PB与DC所成角为45°， F是PB的中点，E是BC上的动点.

（Ⅰ）证明：PE
AF；

（Ⅱ）若BC=2BE=2
AB，求直线AP与平面PDE所成角的大小.

23.(本小题满分10分)

已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=
|PQ|.

（1）求C的方程；

（2）过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l’与C相较于M，N两点，且?A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程.

2015~2016第二学期期初高三数学参考答案及评分标准

1．

2．0

3．10

4．25

5．

6．

7．（1,0）

8．8

9．

10．8

11．③

12．

13．110

14．1.【解析】试题分析：因为
，所以
，即

，又因为
，
，
，所以

，所以
，所以

，所以
的最大值为1，当且仅当
，
取等号.

15. 解：连接BE，BD，AC，设AC交BD于G，

则G为AC的中点

在
中，E为PC的中点，

则PA∥EG，
面BED，
面BED (条件少写一个扣2分)

所以
∥平面
..................................... 7分

（2）
PD⊥面ABCD

PD⊥BC

BC⊥CD

（此条件不写扣2分）

PD,CD
面PCD

BC⊥面PCD

面PCD

BC⊥DE

PD=CD，E为PC中点，
DE ⊥PC

DE⊥面PBC
DE⊥PB，又因为PB⊥EF

平面
......................................1 4分

16．解析：（1）由
及正弦定理，得
，∴
，

即
，............... 4分

又
为钝角，因此
，(不写范围的扣1分)

故
，即
；............ 6分

（2）由（1）知，

，∴
，................ 8分

于是

，............10分

∵
，∴
，因此
，由此可知
的取值范围是
．............................14分

17．（1）

所有最小值为3。.............4分

（2）由题意知：
........................................6分

，

当
时，
............................................8分

当
时，

...................................................10分

（3）令

解得：
，所以n取5或6时，
最大。(少写一个结果扣2分)........................ 14分

18．【解析】(1)当0

当x>40，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－
－16x＋7360............4分

所以，W＝
....................................6分

(2)①当0

所以Wmax＝W(32)＝6104；.............10分

②当x>40时，W＝－
－16x＋7360，

由于
＋16x≥2
＝1600，

当且仅当
＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，W取最大值为5760...........14分

综合①②知，当x＝32时，W取最大值为6104..................16分

19(1)
............................4分

(2) 设
则
，又
，所以直线
的方程为
，得
，所以
，........................6分

同理可得
，所以
，...........8分

又点
在椭圆
上，所有，故
，

所以
=1（定值）；..............................10分

（3）设

，将直线
的方程
与椭圆方程联立方程组得：
........................

......................

，
......................12分

当
时，
点P和点Q的横坐标相同，直线PQ的方程为
，

由此可见，如果直线PQ经过定点R，则点R的横坐标一定为
。..........14分

当
时，
，

直线PQ的方程为
，

令
得：
=0

所以直线PQ过定点R
。..................................16分

20（1）由题意知：函数
与
相切，设切点

...................2分

又有

................4分

所以
...................6分

（2）

由题意知：
的两个根为

................8分

又因为
是函数
的零点

，

两式相减得：

......................10分

，.....................12分

令

由

得
又
，得
，

设函数

................................14分

所以
在
上单调递减，所有
。............16分

21．A【解析】

(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.

因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.

故∠ECD＝∠EBA.

所以CD∥AB.

(2)由(1)知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.

连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.

又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.

所以∠AFG＋∠GBA＝180°.

故A，B，G，F四点共圆．

21．B试题解析：（1）

, 2分

∴
. 5分

（2）矩阵
的特征多项式为


，

令
，得
, 8分

当
时，得
,当
时，得
. 10分

21．C解：（１）由
，消去参数
，得直线
的普通方程为
，

由
，即
，

消去参数
，得直角坐标方程为
．.............5分

（２）由（１）得圆心
，半径
，

∴　
到
的距离
，

所以，直线
与圆
相交．....................... 10分

21D略

22．（Ⅰ） 建立如图所示空间直角坐标系．

设
，

则
，
，

于是，
，
，

则
，

所以
．………………5分

（Ⅱ）若
，则
，

，

设平面
的法向量为