淮安市2015—2016学年度高三年级信息卷

数 学 试 题 2016．5

数学Ⅰ 必做题部分

（本部分满分160分，时间120分钟）

参考公式：

圆椎的体积公式：
，其中
是圆柱的底面积，
是高．

一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．已知集合
，若
，则
▲ ．

2．设复数z满足
，（
为虚数单位），则复数
的实部为 ▲ ．

3．函数
的定义域为 ▲ ．

4．某商场在五一黄金周的促销活动中，对5月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额

为 ▲ 万元．

5．右图是一个算法流程图，则输出的
值是 ▲ ．

6．从
中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为 ▲ ．

7．已知圆锥的母线长为
，高为
，则此圆锥的底面积和侧面积之比为 ▲ ．

8．已知函数
，若曲线
在点
处的切线过原点，则实数
的值为 ▲ ．

9．已知双曲线
的右焦点
到其一条渐近线距离为3，则实数
的值是 ▲ ．

10．已知函数
（
），且
（
），则

▲ ．

11．设
满足约束条件
则目标函数
的取值范围为 ▲ ．

12．已知等差数列
的首项为
，公差为
，其前
项和为
．若存在
，使得
，则实数
的最小值为 ▲ ．

13．在区间
上存在
，使得不等式
成立，则实数
的取值范围是 ▲ ．

14．如图，在等腰梯形
中，
，
，
，

点
，
分别为
，
的中点．如果对于常数
，在

的四条边上，有且只有
个不同的点
使得
成

立，那么实数
的取值范围为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

已知
.

（1）若
，求角
的值；

（2）求
的最小值.

16．（本小题满分14分）

在三棱锥P－ABC中，D为AB的中点．

（1）若与BC平行的平面PDE交AC于点E，求证：点
为
的中点；

（2）若PA＝PB，且△PCD为锐角三角形，又平面PCD⊥平面ABC，求证：AB⊥PC．

17．（本小题满分14分）

某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉，观景喷泉的示意图如图所示，
两点为喷泉，圆心
为
的中点，其中
米，半径
米，市民可位于水池边缘任意一点
处观赏．

（1）若当
时，
，求此时
的值；

（2）设
，且
．

（i）试将
表示为
的函数，并求出
的取值范围；

（ii）若同时要求市民在水池边缘任意一点
处观赏喷泉时，

观赏角度
的最大值不小于
，试求
两处喷泉间距离的最小值．

18．（本小题满分16分）

已知椭圆
：
（
）的离心率为
，椭圆
与
轴交于
两点，且
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）设点
是椭圆
上的一个动点，且点
在
轴的右侧，直线
与直线
交于
两点，若以
为直径的圆与
轴交于
，求点
横坐标的取值范围及
的最大值．

19．(本小题满分16分)

已知数列
，其前
项和为
．

（1）若
是公差为

的等差数列，且
也是公差为
的等差数列，

求数列
的通项公式；

（2）若数列
对任意
，且
，都有
，求证：

数列
是等差数列．

20．（本小题满分16分）

已知函数
，直线
为曲线
的切线．
为自然对数的底数．

（1）求实数
的值；

（2）用
表示
中的最小值，设函数
，若函数
为增函数，求实数
的取值范围．

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数 学 试 题 2016.5

数学Ⅱ 附加题部分

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．[选修4??1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，已知
为
的切线，
为切点，直线
交
于点
，过点
作
的

垂线交
于点
，垂足为
..

证明：
.

B．[选修4??2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

若圆
在矩阵
对应的变换下变成椭圆
，求矩阵
的逆矩阵
.

C．[选修4 ??4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

已知曲线
的极坐标方程是
，直线
的参数方程是
（
为参数）．

设直线
与
轴的交点是
，
是曲线
上一动点，求
的最大值.

D．[选修4 ??5：不等式选讲]（本小题满分10分）

实数
满足
，求证：
.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写

出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

如图，在直三棱柱
中，已知
，
，
，
.
是线段
的中点.

（1）求直线
与平面
所成角的正弦值；

（2）求二面角
的大小的余弦值.

23．（本小题满分10分）

已知非空集合
满足

．若存在非负整数
，使得当
时，均有
，则称集合
具有性质
．设具有性质
的集合
的个数为
．

（1）求
的值；

（2）求
的表达式．

淮安市2015—2016学年度高三年级信息卷

数学试题参考答案与评分标准

数学Ⅰ部分

一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．
2．3 3．
4．12 5．11 6．
7．
8．

9．
或
10．
11．
12．
13．
14．（
，
）

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（1）因为
，且

所以
，........................ ....................2分

即
，又
，.......................................4分

所以
， ....................................................6分

（2）因为
，........................ ........8分

所以

.....................................12分

因为
，所以
，

故当
时，
取到最小值
...............................14分

16．（1）平面PDE交AC于点E，即平面PDE∩平面ABC＝DE，

而BC∥平面PDE，BC?平面ABC，所以BC∥DE．.......... ...............3分

在△ABC中，因为D为AB的中点，所以E为AC中点．............ .........6分

（2）因为PA＝PB，D为AB的中点，所以AB⊥PD，......... ...............8分

因为平面PCD⊥平面ABC，平面PCD∩平面ABC＝CD，

在锐角△PCD所在平面内作PO⊥CD于点O，则PO⊥平面ABC．............11分

因为AB?平面ABC，所以PO⊥AB，

又PO∩PD＝P，PO，PD?平面PCD，则AB⊥平面PCD，

又PC?平面PCD，所以AB⊥PC．........... ...... .....................14分

17．（1）在
中，由正弦定理得，
，

易得
．…………………………………………………………3分

（2）（i）易知
，
，

故
，……………………………………………………5分

又因为
，即
，解得
，

即
，
；…………………………………………………7分

（ii）当观赏角度
的最大时，
取得最小值，由余弦定理可得

………………………………………………………11分

由题意可知
，解此不等式得
，

经验证，
，即