江苏省溧水高级中学2015~2016学年第二学期高三三模模考

数学试卷（2016年4月）

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）

1、已知集合
，
，则集合
的所有子集的个数为 ▲ 个。

2、已知
为实数，设复数
满足
（
是虚数单位），

则
= ▲ ．

3、运行下面的一个流程图，则输出的
值是 ▲

4、从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，

则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 ▲

5、已知等比数列
的公比为正数，且
·
=2
，
=1，

则
= ▲ ．

6、如图，已知正方体
的棱长为
，
为底面

正方形
的中心，则三棱锥
的体积为 ▲

7、已知椭圆
的焦距为
，则实数
▲

8、已知
，若
，则
▲

9、已知函数
，若直线
过点
并且与曲线
相切，则直线
被圆
截得的弦长为 ▲

10、设椭圆
的两个焦点为
、
，过点
的直线与椭圆
交于点
，若
，且
，则椭圆
的离心率为 ▲

11、平行四边形
中
，
，若点
满足：
，
，则
▲

12、已知函数
，若方程
有且只有一个实数根，则实数
的取值范围为 ▲

13、已知函数
，若存在整数
，使得
的解集恰好是
，则
的值为 ▲

14、若
为实数，且
，则
的最小值为 ▲

二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15、（本小题满分14分）

在
中，
分别是角
的对边，
，且
。

（1）求角
的大小；（2）设函数
，且函数
的最小正周期为
，求函数
在区间
上的值域。

16、（本小题满分14分）

如图，在四棱锥
中，四边形
为矩形，
分别为
的中点。

(1)求证：
平面
；

(2)求证：平面
平面
的充要条件是
。

17、（本小题满分14分）

某服装企业从事
国某品牌服装的加工业务，按照国际惯例以美元结算。依据以往的加工生产数据统计分析，若加工订单的金额为x万美元，可获得的加工费的近似值为
万美元。受美联储货币政策的影响，美元持续贬值。由于从生产订单签约到成品交付要经历一段时间，收益将因美元贬值而损失mx美元（其中m是该时段的美元贬值指数，且0

（1）若某时段的美元贬值指数
，为了确保企业实际所得加工费随x的增加而增加，该企业加工产品订单的金额x应该控制在什么范围内？

（2）若该企业加工产品订单的金额为x万美元时共需要的生产成本为
万美元。已知该企业的生产能力为
，试问美元贬值指数m在何范围内时，该企业加工生产不会出现亏损？

（提示：已知
，
）

18、（本小题满分16分）

已知圆
，点
为圆
上任意一点（不在坐标轴上），过点
作倾斜角互补的两条直线分别交圆
于另一点
。

（1）当直线
的斜率为
时，

①若点
的坐标为
，求点
的坐标；

②若点
的横坐标为
，且
，求
的值.

（2）当点
在圆
上移动时，求证：直线
与
的斜率之积为定值.

19、（本小题满分16分）

已知直线
为函数
在点
处的一条切线。

（1）求a，b的值；

（2）若函数
的图象
与函数
（n＞0）的图象
交于
，
两点，其中
＜
，过PQ的中点R作
轴的垂线分别交
，
于点M、N，设C1在点M处的切线的斜率为
，C2在点N处的切线的斜率为
，求证：
＜
．

20、（本小题满分16分）

已知数列
和
的通项公式分别为
和

（1）当
时，

①试问：
分别是数列
中的第几项？

②记
，若
是
中的第
项
，试问：
是数列
中的第几项？请说明理由；

（2）对给定自然数
，试问是否存在
，使得数列
和
有公共项？若存在，求出
的值及相应的公共项组成的数列
，若不存在，请说明理由．

附加题

1、已知矩阵
的一个特征值为
，其对应的一个特征向量为
，已知
，求
.

2、在直角坐标系xoy中，直线
的参数方程为
（t为参数）。在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为
。

（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线
交于点A、B，若点P的坐标为
，求|PA|+|PB|。

3、某射击小组有甲、乙两名射手, 甲的命中率为

, 乙的命中率为
, 在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测, 在一次检测中, 若两人命中次数相等且都不少于一发, 则称该射击小组为“先进和谐组”.

（1）若

, 求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；

（2）计划在2013年每月进行1次检测, 设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为
, 如果
, 求
的取值范围.

4、如图，已知三棱柱
的侧棱与底面垂直，
⊥AC，M是
的中点，N是BC的中点，点P在直线
上，且满足
.

（Ⅰ）当
取何值时，直线PN与平面ABC所成的角
最大？

（Ⅱ）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为
，试确定点P的位置.

2016届高三三模模考数学参考答案及评分标准

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）

1． 8； 2．
； 3． 35； 4．
； 5．
； 6．
； 7．
；

8．
；9．
； 10.
； 11．
； 12．

13．
； 14．

二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15．（本小题满分14分）

解：（1）由
，得：
……………2分

由正弦定理得：

…………4分

且
，故
……………6分

（2）由（1）知：

……………8分

由函数
的最小正周期为
，得
，即
……………10分

又因为
，所以
，故
……………12分

从而函数
在区间
上的值域为
。 ……………14分

注意：第（1）问中不交代角
的范围，直接写角的大小扣一分；第（2）问中不交代角
的范围，直接写三角函数的大小扣一分。

16．（本小题满分14分）

证明：（1）连接BD，由已知，M为AC和BD的中点，

又因为N为PD的中点
…2分

∥平面ABP ……………6分

注意：条件“
”少写一个扣除2分，两个都不写本小步4分扣完！

（2）
,BP、BC在平面BPC内交于B

……………8分

充分性：

平面
平面
……………11分

必要性：过点B作
于E

平面
平面

……………14分

注意：不说明充分性、必要性的扣1分，充分性、必要性写反了的扣2分！

17．解：（1）由已知
，则

所以
……………2分

由
，解得0

即加工产品订单金额
（单位：万美元），该企业的加工费随x的增加而增加。

…………5分

（2）依题意设，企业加工生产不出现亏损，则当
时，

都有
。 …………6分

法一：即
在x∈[10，20]时恒成立．……………7分

所以，g(x)min＝g(20)＝10ln41－20(20m＋1)≥0，∴m≤
，又m＞0，

所以，m∈(0,
]时，该企业加工生产不会亏损 ． ………………14分

法二：变量分离
，令
.…………7分

求出函数的最小值：