2015学年杭州市五校联盟高三月考数学（文）试卷（12月）

试卷满分：150分 考试时间：120分钟

一、选择题（共40分）

1.“φ=
”是“函数y=sin（x+φ）为偶函数的”（　　）

　 A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件

　 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

2.若函数f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则g（x）=loga（x+k）的是（　　）

　 A．
B．
C．
D．

3.已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=
，则不等式f（x﹣1）≤
的解集为（　　）

　 A． [
，
]∪[
，
] B． [﹣
，﹣
]∪[
，
]

　 C． [
，
]∪[
，
] D． [﹣
，﹣
]∪[
，
]

4.若正项数列
满足
,且
，则
的值为( )

A．
B．
C．
D．

5.若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（　　）

　 A．
B．
C．
D．

6.已知向量
⊥
，|
﹣
|=2，定义：
=λ
+（1﹣λ ）
，其中0≤λ≤1．若
?
=
，则|
|的最大值为( )

A．
B．
C．1 D．

7.下列命题中错误的是( )

A．如果平面
平面
，那么平面
内一定存在直线平行于平面

B．如果平面
不垂直于平面
，那么平面
内一定不存在直线垂直于平面

C．如果平面
平面
，平面
平面
，
，那么直线
平面

D．如果平面
平面
，那么平面
内所有直线都垂直于平面

8.已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：
=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为
，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为( )

A．
B．
C．
D．

二、填空题（9-12每题6分，13-15每题4分）

9.定义在
上的偶函数
，对任意实数
都有
，当
时,

，若在区间
内，函数
有4个零点，则实数
的取值范围是_______________.

10.已知
，
，则
________________.

11.已知非零向量序列：
满足如下条件：|
|=2，
?
=﹣
，且
=
（n=2，3，4，…，n∈N*），Sn=
，当Sn最大时，n= ．

12.若θ∈（
，
），sin2θ=
，则cosθ﹣sinθ的值是 ．

13.设向量
，
满足|
+
|=
，|
﹣
|=
，则
?
= ．

14.已知x，y满足
，则x+y的最大值为 ．

15.已知某几何体的三视图如图所示，这该几何体的体积为 ，表面积为 ．

三、解答题（共74分）

16.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π．

（Ⅰ）求函数f（x）的表达式．

（Ⅱ）若sinα+f（α）=
，求
的值．

17.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B=B1A=BA=BC=2，∠B1BC=90°，D为AC的中点，AB⊥B1D．

（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面ABB1A1；

（Ⅱ）求B到平面AB1D的距离．

18.已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为
的椭圆过点（
，
）．

（1）求椭圆的方程；

（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．

19.已知a∈R，函数f（x）=x2﹣a|x﹣1|．

（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值；

（Ⅱ）讨论y=f（x）的图象与y=|x﹣a|的图象的公共点个数．

20.在等比数列{an}中，a1=1，a3，a2+a4，a5成等差数列．

（1）求数列{an}的通项公式

（2）若数列{bn}满足b1+
+…+
（n∈N+），{bn}的前n项和为Sn，求证Sn≤n?an（n∈N+）

2015学年杭州市五校联盟高三月考数学（文）答案

选择题

1

2

3

4

5

6

7

8



A

C

A

A

C

C

D

B



填空题

9.
10.
11.8或9 12.﹣
13.1 14.2 15.288, 336.

三、解答题

16.解：（I）∵f（x）为偶函数∴sin（﹣ωx+?）=sin（ωx+?）

即2sinωxcos?=0恒成立∴cos?=0，

又∵0≤?≤π，∴
（3分）

又其图象上相邻对称轴之间的距离为π∴T=2π∴ω=1

∴f（x）=cosx（6分）

（II）∵原式=
（10分）

又∵
，∴
（11分）

即
，故原式=
（12分）

17.（Ⅰ）证明：取AB中点为O，连接OD，OB1．因为B1B=B1A，所以OB1⊥AB．

又AB⊥B1D，OB1∩B1D=B1，所以AB⊥平面B1OD，因为OD?平面B1OD，所以AB⊥OD，由已知，BC⊥B1B，又OD∥BC，所以OD⊥⊥B1B，因为AB∩B1B=B，所以OD⊥平面ABB1A1．

又OD?平面ABC，所以平面平面ABC⊥平面ABB1A1；

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，B1O=
，S△ABC=
=2，B1A=2，AC=B1C=2
，
=
，

因为B1O⊥平面ABC，所以
=
=
，

设B到平面AB1D的距离是d，则
=
=
d，

得B到平面AB1D的距离d=
．…

18.解：（1）由题意可设椭圆方程为
（a＞b＞0），则

则
故

所以，椭圆方程为
．

（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，

故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），

由
消去y得

（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，

则△=64k2b2﹣16（1+4k2b2）（b2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，

且
，
．

故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．

因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，

所以
=k2，

即
+m2=0，又m≠0，

所以k2=
，即k=
．

由于直线OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得

0＜m2＜2且m2≠1．

设d为点O到直线l的距离，

则S△OPQ=
d|PQ|=
|x1﹣x2||m|=
，

所以S△OPQ的取值范围为（0，1）．

19.解（Ⅰ）当a=1时，
，

故
；

（Ⅱ）设h（x）=x2﹣a|x﹣1|﹣|x﹣a|，

当a＞1时，
，

1、x≥a时，h（a）=a＞0，对称轴
，无零点．1≤x＜a时，x1=0（舍去），x2=a﹣1，

所以（ⅰ）a≥2时，一个零点；

（ⅱ）1＜a＜2时，x＜1时，△=a2+10a+1＞0，对称轴
，h（1）=2﹣a

所以（ⅰ）a≥2时，一个零点；

（ⅱ）1＜a＜2时，两个零点．

综上所述，a＞1时，h（x）有两个零点，

即y=f（x）的图象与y=|x﹣a|的图象的公共点有2个，

2．a=1时，
，即y=f（x）的图象与y=|x﹣a|的图象的公共点有2个，

3．a＜1时，
…

x≥1时，对称轴
，h（1）=a．

所以（ⅰ）a≤0时，一个零点；

（ⅱ）0＜a＜1时，无零点．a≤x＜1时，x1=0（舍去），x2=1﹣a，

所以（ⅰ）
时，一个零点；

（ⅱ）
时，无零点．x＜a时，△=a2+10a+1，对称轴
，h（a）=a（2a﹣1）

所以（ⅰ）
时，对称轴
，h（a）=a（2a﹣1）＞0，无零点；

（ⅱ）
时，△=a2+10a+1＜0，无零点；

（ⅲ）
时，
，一个零点；

（ⅳ）
或
时，△=a2+10a+1＞0，对称轴
，h（a）=a（2a﹣1）＞0，两个零点；

（ⅴ）
时，h（a）=a（2a﹣1）≤0，一个零点，

综上，（ⅰ）
或a＞0时，y=f（x）与y=g（x）的图象的公共点有2个；

（ⅱ）
或a=0时，y=f（x）与y=g（x）的图象的公共点有3个；

（ⅲ）
时，y=f（x）与y=g（x）的图象的公共点有4个．

20.（1）解：设数列{an}的公比为q， ∵a1=1，∴a2=q，a3=q2，a4=q3，a5=q4，

又∵a3，a2+a4，a5成等差数列，∴2（a2+a4）=a3+a5，

即2（q+q3）=q2+q4，解得q=2或0（舍），∴an=2n﹣1；

（2）证明：∵数列{bn}满足b1+
+…+
=an（n∈N+），

∴当n=1时，b1=a1=1，此时S1=1×a1；

当n≥2时，
=an﹣an﹣1=2n﹣1﹣2n﹣2=2n﹣2，∴bn=n?2n﹣2，

∴Sn=1+2×20+3×21+4×22+…+（n﹣1）×2n﹣3+n×2n﹣2，

∴2Sn=2×20+2×21+3×22+4×23+…+（n﹣1）×2n﹣2+n×2n﹣1，

两式相减，得﹣Sn=1+21+22+23+…+2n﹣2﹣n×2n﹣1，

∴Sn=n×2n﹣1﹣1﹣（21+22+23+…+2n﹣2）=n×2n﹣1﹣1﹣
=（n﹣1）×2n﹣1﹣1=n×2n﹣1﹣（1+2n﹣1）＜n×2n﹣1=n?an，综上所述，Sn≤n?an（n∈N+）。

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