扶沟高中2015-2016学年度上期高三开学考试

数学试卷（理科）

命题人：张海涛 审题人：姚鑫

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）.满分150分，考试时间120分钟.

第I卷

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．设集合
，
，则
= ( )

A．
B．
C．
D．

2. 若
（其中
为虚数单位），则
等于 （ ）

A．1　　　　 　 B.
　　　 　　　 C.
　　 　　　　D．

3．已知命题
：
，
，命题
：
，
，则下列说法中正确的是（ ）

A．命题
是假命题 B．命题
是真命题

C．命题
是真命题 D．命题
是假命题

4. 已知
、
取值如下表：

0

1

4

5

6





1.3




[:]

5.6

7.4



 画散点图可知：
与
线性相关，且求得回归方程为
，则
的值（精确到0.1）

为 （ )

A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.8

5．设
为等比数列
的前
项和，已知
,则公比
（ )

A．3 B．4 C．5 D．6

是双曲线
上一点,
分别是双曲线左右焦点,若|
|=9,则|
|= ( )

A.1 B.17 C.1或17 D.以上答案均不对

若某几何体的三视图如右图所示， 则此几

何体的体积等于 （ ）

A．30 B．12

C．24 D．4

8．设函数
的图象上的点
处的切线的斜率为k，

若
，则函数
的图象大致为（ ）

9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 （ ）

A. 14　　 B. 15 C. 16 　 D. 17

中

是边
上的一点（包括端

点），则

的取值范围是 （　　）

A．[1，2] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣5，2]

如图过拋物线的焦点F的直线依次交拋物线及准线

于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则拋物线的方程为 （ ）

A.

　B.

C．

D．

[][:]

若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数
的图象上；②点A、B关于原点

对称，则点（A,B）是函数
的一个“姊妹点对”.点对（A,B）与（B,A）可看作是同一

个“姊妹点对”.已知函数
，则
的“姊妹点对”有 ( )

A. 2个 B. 1个 C. 0个 D. 3个

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)

13.设变量
满足约束条件
，则
的最大值为 .

14.在
的展开式中的
的系数为 .

15．已知
(
为自然对数的底数),函数

则
.

16 .已知数列
的前n项和
，若不等式
对

恒成立，则整数
的最大值为 .

三、解答题:（本大题共5小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. （本小题满分12分）

在
中
是其三个内角
的对边且
.

(I)求角
的大小

(II)设
，求
的面积
的最大值.

（本小题满分12分）

第117届中国进出品商品交易会（简称2015年秋季广交会）将于2015年8月15日在广州

举行，为了搞好接待工作，组委会在广州某大学分别招募8名男志愿者和12名女志愿者，

现将这20名志愿者的身高组成如下茎叶图（单位：cm），若身高在175cm以上（包括175cm）

定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”.

(I)计算男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位数

（保留一位小数）.

(II)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用
表示所选志愿者

中为女志愿者的人数，试写出
的分布列，并求
的数学期望.

（本小题满分12分）

如图正方形
与梯形
所在的平面互相垂直

点
在线段
上.

(I)当点
为
中点时求证
平面

(II)当平面
与平面
所成锐二面角的余弦

值为
时，求三棱锥
的体积.

20.（本小题满分12分）

椭圆
的焦点在x轴上，其右顶点（a,0）关于直线
的对称

点在直线
(c为半焦距长) 上.

（I）求椭圆的方程；

(II)过椭圆左焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，交直线
于点C. 设O为坐标原

点，且
求
的面积.

21．（本小题满分12分）

已知函数
（
为无理数，
）

(I)求函数
在点
处的切线方程；

(II)设实数
，求函数
在
上的最小值；

（III）若
为正整数，且
对任意
恒成立，求
的最大值．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写题号．

22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】

如图，在正△ABC中，点D,E分别在边AC, AB上，

且AD=
AC， AE=
AB，BD，CE相交于点F．

(I)求证：A，E，F，D四点共圆；

(II)若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．

23. （本小题满分10分）【选修4—4：极坐标与参数方程】

在直角坐标系中，以原点为极点,错误！未找到引用源。轴的正半轴为极轴建坐标系,

已知曲线错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。，已知过点错误！未找到引用源。的直线错误！未找到引用源。的参数方程为

错误！未找到引用源。

（
为参数），直线
与曲线
分别交于
两点．

(I)写出曲线
和直线
的普通方程；

(II)若错误！未找到引用源。成等比数列,求错误！未找到引用源。的值．

24. （本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知a，b∈R+，a＋b＝1，
，
∈R+．

(I)求
的最小值； (II)求证：
．

2015-2016学年度高三开学考试数学答案 （理）

选择题:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



B

C

C

C

B

B

C

A

C

D

D

A



填空题: 13. 6 14. －910 15. 7 16. 4

三.解答题:

17 解：（Ⅰ）∵

，或
，

由
，知
，所以
不可能成立，所以
，

即
，所以

（Ⅱ）由（Ⅰ），
，所以
，

即△ABC的面积S的最大值为

18.解：（1）根据茎叶图可得：

男志愿者的平均身高为

女志愿者身高的中位数为

（2）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人，而男志愿者的“高个子”有5人，女志愿者的“高个子”有3人，
的可能值为0,1,2,3，

故

即
的分布列为：

0

1

2

3



P











所以
的数学期望

解：（1）以直线
、
、
分别为
轴、
轴、
轴

建立空间直角坐标系，则
，

，
，

所以
.∴
.........2分

又，
是平面
的一个法向量.∵
即

∴
∥平面
.................4分

（2）设
，则
，又

设
，则，
即
...6分

设
是平面
的一个法向量，则

取
得
即

又由题设，
是平面
的一个法向量，......................8分

∴
...................10分

即点
为
中点，此时，
，
为三棱锥
的高，

∴

................................12分

20.解：（1）椭圆的右顶点为（2，0），

设（2，0）关于直线
的对称点为（
，

则
………………4分 解得

则
，所求椭圆方程为
--------------------------6分

（2）设A

由

所以
…………①，
…………②

因为
即
，所以
……③……6分

由①③得

代入②得，
，整理得
…………8分

所以
所以
……10分

由于对称性，只需求
时，△OAB的面积.

此时，
所以
……12分

21.⑴∵