2015年高三数学试卷(文)

命题人 ：温馨 审题：张宝安 吴磊

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求．

1．已知集合
，
，且
，则实数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

2．若复数
满足
，则
的虚部为（ ）

A．
B．
C．
D．

3.两个变量
与
的回归模型中，分别选择了4个不同模型，计算出它们的相关指数
如 下，其中拟合效果最好的模型是 （ ）

A.模型1（相关指数
为0.97） B.模型2（相关指数
为0.89）

C.模型3（相关指数
为0.56 ） D.模型4（相关指数
为0.45）

4.
的三个内角为A,B,C,若
,则sinBsin C的最大值为( )

A
B 1 C
D 2

5. 设
，其中实数
满足
，若
的最大为
，则
的最小值为( )

A.
?? B.
???C.
???? D.

6．设
为抛物线
上一点，
为抛物线
的焦点，若以
为圆心，
为半径的圆和抛物线
的准线相交，则
的取值范围是 ( )

A.
B.
C.
D.
[:.]

7. 执行如图的程序框图，则输出
的值为 ( )

A. 2016??B. 2 C.
????? D.

8.设
是等差数列
的前
项和，
, 则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

9. 将奇函数
的图象向左平移
个单位得到的图象关于原点对称，则
的值可以为( )

A.6 B.3 C.4 D.2

10.设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式x2?f（x）＞0的解集为（　　）

　 A．（﹣2，2） B． （﹣2，0）∪（2，+∞）

C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）

11．已知F1、F2分别是双曲线
的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点且
，则双曲线离心率的取值范围是（ ）

A. (1,2] B. [2 +
) C. (1,3] D. [3，+
)

12．已知函数
有两个极值点，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上)

13．右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ____________

14.已知向量
与
的夹角为
，且
，则
的最小值为_________

15.在
中，AB=AC=2,BC=
,D在BC边上，
求AD的长为____________

16.在数列
中，已知
，记
为数列
的前
项和，则
.

三：解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)

17.（本小题满分12分）

在ΔABC中，内角
所对的边分别为
. 若
－

.

（1）求角C的大小；

（2）已知
，ΔABC的面积为
. 求边长
的值.

18. （本小题满分12分） 某批次的某种灯泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下． 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品．

寿命（天）

频数

频率





10







30







70















60





合计

200





 （Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b，c的值；

（Ⅱ）某人从这200个灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好不是次品的概率；

（Ⅲ）某人从这批灯泡中随机地购买了
个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值．

19.（本小题满分14分）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，PA= PD，
，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．

（Ⅰ）求证：AD
平面PBE；

（Ⅱ）若Q是PC的中点，求证：PA∥平面BDQ;

（Ⅲ）若
，试求
的值．

20．（本小题满分12分）

已知A（-2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，△APB面积的最大值为2
.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线AP的倾斜角为
，且与椭圆在点B处的切线交于点D，试判断以BD为直径的 圆与直线PF的位置关系，并加以证明．

21．（本小题满分12分）

已知函数f（x）=ax+xlnx（a为常数，e为自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=3x﹣e．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若k∈Z，且k＜
对任意x＞1都成立，求k的最大值．

请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作

答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．

22.（本小题满分10分）选修4─1：几何证明选讲．

如图，已知圆O和圆M相交于
两点，
为圆M的直径，直线
交圆O于点
，点
为弧
中点，连结
分别交圆O、
于点
连结
．

（1）求证：

（2）求证：
.

23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．

已知直线

为参数), 曲线

（
为参数）.[:.]

(I)设
与
相交于
两点,求
；

(II)若把曲线
上各点的横坐标压缩为原来的
倍,纵坐标压缩为原来的
倍,得到曲 线
,设点
是曲线
上的一个动点,求它到直线
的距离的最小值.

24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．

设不等式
的解集是
，
．

（I）试比较
与
的大小；

（II）设
表示数集
的最大数．
,求证：
．

2015年高三数学试卷参考答案

一、选择题

CBACA, ABDAB, CB

二、填空题

13，
14，
15，
16，-1006

三、解答题

17. 解析：（１）由条件得
=2（2
）

即
=

=

……2分

化简得

, …4分

∵
　∴　

又
　∴　
＝
…6分

（２）由已知及正弦定理得
………8分

又 SΔABC=8，C=
∴ 
， 得
………10分

由余弦定理
得
. …12分

18．（Ⅰ）解：
，
，
． ………… 4分

（Ⅱ）解：设“此人购买的灯泡恰好不是次品”为事件
．

由表可知：这批灯泡中优等品有60个，正品有100个，次品有40个，

所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为
． …………… 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为
．

所以按分层抽样法，购买灯泡数
，

所以
的最小值为
． ……………… 12分

19. （Ⅰ） 证明：由E是AD的中点， PA=PD，所以AD⊥PE； ………2分

又底面ABCD是菱形，∠BAD=60

所以AB=BD，又因为E是AD的中点 ，

所以AD⊥BE，

又PE∩BE=E　所以AD⊥平面PBE. ……………… 4分

（Ⅱ）证明：连接AC交BD于点O，连OQ；因为O是AC的中点，

Q是PC的中点，所以OQ//PA，

又PA
平面BDQ，OQ
平面BDQ，所以PA//平面BDQ. ……………… 8分

（Ⅲ）解：设四棱锥P-BCDE，Q-ABCD的高分别为
.

所以
，
,

又因为
，且底面积
，

所以
. ……… 12分

20. 解：（Ⅰ）由题意可设椭圆
的方程为
，
．

由题意知
解得
. ………2分

故椭圆
的方程为
. ………4分

（Ⅱ）以
为直径的圆与直线
相切．

证明如下：由题意可知，
，

，直线
的方程为
.

则点
坐标为
，
中点
的坐标为
，圆的半径
………6分

由
得
．

设点
的坐标为
，则
………8分

因为点
坐标为
，直线
的斜率为
，直线
的方程为：

点
到直线
的距离
． ………10分

所以
． 故以
为直径的圆与直线
相切． ………12分

21．解：（1）求导数可得f′（x）=a+lnx+1，

∵函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，

∴f′（e）=3，∴a+lne+1=3，∴a=1，

∴f（x）=x+xlnx，f′（x）=lnx+2，

由f′（x）＞0得x＞
，由f′（x）＜0得0＜x＜
．

∴f（x）的单调递减区间为（0，
），单调递增区间为（
，+∞）．

（2）当x＞1时，令g（x）=
=
，则g′（x）=
，

设h（x）=x﹣2﹣lnx，则h′（x）=1﹣
=
＞0，

h（x）在（1，+∞）上为增函数，

∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0，

∴?x0∈（3，4），且h（x0）=0，

当x∈（1，x0）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）在（1，x0）上单调递减；

当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）在（x0，+∞）上单调递增．

∴g（x）min=g（x0）=
，

∵h（x0）=x0﹣2﹣lnx0=0，

∴x0﹣1=1+lnx0，g（x0）=x0，

∴k＜x0∈（3，4），∴k的最大值为3．

22证明：（1）连结
，
，

22.证明：（1）连结
，
，∵
为圆
的直径，∴
，

∴
为圆
的直径, ∴
,

∵
，∴
,∵
为弧
中点，∴
，

∵
,∴
,

∴
∽
，∴
，

（2）由（1）知
，
,

∴
∽
,∴
,

由（1）知
，∴
．

23.解.（I）
的普通方程为
的普通方程为

联立方程组


解得
与
的交点为
,
,

则
. ………………5分

（II）
的参数方程为
为参数).故点
的坐标是
,从而点
到直线
的距离是

,

由此当
时,
取得最小值,且最小值为
.…………10分

24.解：由
所以

由
，得
，

所以
故
………………5分

（II）由
，得