江西省三校2016届高三联考文科数学试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1、设集合
，集合
，则
( ) 　

A．
B.
C．
D．

2、
的值是( )

A．
B．
C．
D．

3、已知a为实数，若复数
为纯虚数，则
的值为( )

A．1 B．-1 C．
D．

4、直线
与圆
相交于A，B两点，则“△OAB的面积为
”是“
”的( )

A.充分不必要条件　　　　　　　B.必要不充分条件

C.充要条件　　　　　　　　　　D.既不充分也不必要条件

5、设
满足约束条件
，则目标函数
的取值范围为( )

A．
B．
C．
D．

6、定义在R上的偶函数
满足：对任意的
，都有
.

则下列结论正确的是 ( )

A．

B．

C．

D．

7、当输入的实数
时，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是 ( )

A．
B．
C．
D．

8、函数
的部分

图象如图所示, 如果
、
，且
，则

等于( )

A．
B．
C．
D．1

9、设正项等比数列
的前n项之积为
，且
，则
的最小值是 ( )

A．
B．
C．
D．

10、若某几何体的三视图(单位：
)如右图所示，则该几何体的

体积等于( )

A．
B．
C．
D．

11、定义
为
个正数
的“均倒数”．

若已知数列
的前
项的“均倒数”为
，又
，

则
=( )

A．
B．
C．
D．

12、已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，若双曲线上存在点P，使
，则该双曲线离心率的取值范围为( )

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13、设向量
是两个不共线的向量，若
与
共线，则实数
= .

14、设函数
，若函数
在
处与直线
相切，则实数

15、已知
的三个顶点在同一个球面上，
，
，
.若球心O到平面ABC的距离为
，则该球的表面积为 .

16、若函数
对定义域的每一个值
，在其定义域内都存在唯一的
，使
成立，则称该函数为“依赖函数”．给出以下命题：①
是“依赖函数”；②
是“依赖函数”；③
是“依赖函数”；④
是“依赖函数”；⑤
，
都是“依赖函数”，且定义域相同，则
是“依赖函数”．其中所有真命题的序号是_____．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17、（本小题满分12分）已知函数
经化简后利用

“五点法”画其在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：

①













0

1

0

－1

0



（Ⅰ）请直接写出①处应填的值，并求函数
在区间
上的值域；

（Ⅱ）
的内角
所对的边分别为
，已知

，
，求
的面积．

18、（本小题满分12分）2015年“五一节”期间，高速公路车辆较多，交警部门通过路面监控装置抽样调查某一山区路段汽车行驶速度，采用的方法是：按到达监控点先后顺序，每隔50辆抽取一辆，总共抽取120辆，分别记下其行车速度，将行车速度（km/h）分成七段[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），

[90，95）后得到如图所示的频率分布直方图，据图解答下列问题：（Ⅰ）求a的值，并说明交警部门采用的是什么抽样方法？（Ⅱ）求这120辆车行驶速度的众数和中位数的估计值（精确到0.1）；

（Ⅲ）若该路段的车速达到或超过90km/h即视为超速行驶，试根据样本估计该路段车辆超速行驶的概率.

19、（本小题满分12分）如图，三棱柱
中，侧面
是矩形，截面
是等边三角形．

（Ⅰ） 求证：
；

（Ⅱ）若
，三棱柱的高为1，求点
到截面
的距离．

20、（本小题满分12分）已知函数
，
.

（I）若函数
在定义域内为单调函数，求实数
的取值范围；

（II）证明：若
，则对于任意
有
.

21、（本小题满分12分）设椭圆
的离心率
，右焦点到直线
的距离
，
为坐标原点.

（I）求椭圆
的方程；

（II）过点
作两条互相垂直的射线，与椭圆
分别交于
、
两点，证明点
到直线
的距离为定值，并求弦
长度的最小值.

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．

22、（本小题满分10分）如图，设AB为⊙O的任一条不与直线
垂直的直径，P是⊙O与
的公共点，AC⊥
，BD⊥
，垂足分别为C，D，且PC=PD．

（Ⅰ）求证：
是⊙O的切线；

（Ⅱ）若⊙O的半径OA=5，AC=4，求CD的长．

23、（本小题满分10分）已知直线
的参数方程是
（
为参数），⊙C的极坐标方程为
．

（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；

（Ⅱ）试判断直线
与⊙C的位置关系．

24、（本小题满分10分）已知函数
．

（Ⅰ）求不等式
的解集；

（Ⅱ）若关于
的不等式
的解集非空，求实数
的取值范围．

2016届高三文科数学试卷答案

一、选择题：

(1)--(6) CADBDA (7)--(12) CCABAD

二、填空题：

(13)
(14)
(15)
(16) ②③

解答题：

（17）（本小题满分12分）

（Ⅰ）①处应填入
．………1 分

．………3分

因为T=
，所以
，
，即
．………4分

因为
，所以
，所以
，

故
的值域为
…6分

（Ⅱ）

，又


，得
，
…8分

由余弦定理得


，

即
，所以
．………10分

所以
的面积
． ………12 分

（18）（本小题满分12分）

（I）由图知：（a+0.05+0.04+0.02+0.02+0.005+0.005）×5=1，∴a=0.06，该抽样方法是系统抽样； …4分（II）根据众数是最高矩形底边中点的横坐标，∴众数为77.5；

∵前三个小矩形的面积和为0.005×5+0.020×5+0.040×5=0.325，第四个小矩形的面积为0.06×5=0.3，

∴中位数在第四组，设中位数为75+x，则0.325+0.06×x=0.5?x≈2.9，

∴数据的中位数为77.9； …8分（III）样本中车速在[90，95）有0.005×5×120=3（辆），

∴估计该路段车辆超速的概率P=
． …12分

（19）（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：取BC中点O，连OA，OA1．

因为侧面BCC1B1是矩形，所以BC⊥BB1，BC⊥AA1，

因为截面A1BC是等边三角形，所以BC⊥OA1，

所以BC⊥平面A1OA，BC⊥OA，因此，AB＝AC． …5分

（Ⅱ）设点A到截面A1BC的距离为d，

由VA－A1BC＝VA1－ABC得S△A1BC×d＝S△ABC×1，得BC×OA1×d＝BC×OA×1，得d＝．

由AB⊥AC，AB＝AC得OA＝BC，又OA1＝BC，故d＝
．

因为点A与点C1到截面A1BC的距离相等，所以点C1到截面A1BC的距离为．…12分

（20）（本小题满分12分）

（I）解析：函数
的定义域为

令
，

因为函数
在定义域内为单调函数，说明
或
恒成立，……………2分

即
的符号大于等于零或小于等于零恒成立，

当
时，
，
，
在定义域内为单调增函数；

当
时，
为减函数，

只需
，即
，不符合要求；

当
时，
为增函数，

只需
即可，即
，解得
，

此时
在定义域内为单调增函数；……………4分

综上所述
………………5分

（II）
在区间
单调递增，

不妨设
，则
，则

等价于