江西玉山县仙岩中学2016届高三数学（理科）第1次模拟测试

(满分150分，时间120分钟 全国卷模式)

选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．

1．复数
的共轭复数是

A．
B．
C．
D．

2．设函数
的定义域为A，值域为B，则
=

A．
B．
C．
D．

3．若等差数列
和等比数列
满足
则

A．5 B．16 C．80 D．160

4．“
”是“
” 的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．如下图所示的几何体，其俯视图正确的是

6．若关于
、
的不等式组
表示的平面区域是一个三角形，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．
或

7．若函数
的导函数在区间
上有零点，则
在下列区间单调递增的是

A．
B．
C．
D．

8．定义平面向量的正弦积为
，（其中
为
、
的夹角），已知△ABC中，

，则此三角形一定是

A．等腰三角形 B． 直角三角形 C． 锐角三角形 D． 钝角三角形

9．已知向量
满足
，
，
，则
与
的夹角为

A．
B．
C．
D．

10. 设数列
的前
项和为
，若
，则

A．
B．
C．
D．

11. 设双曲线
的渐近线方程为
，则该双曲线的离心率为

A．
　　 B．2　　　　 C．
　 D．

12. 设
为抛物线

上不同的两点，
为坐标原点,且
,则
面积的最小值为

A．
B．
C．
D．

填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.

13．
展开式的常数项的值为________________。

14．点

到双曲线
的渐近线的距离

为______________。

15．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是5，

则判断框内
的取值范围是________________。

16．若长方体的顶点都在半径为3的球面上，则该长方体

表面积的最大值为 。

解答题：本大题共6小题，满分70分．其中22,23,24题为选做题.

17．（本题满分12分）

在正项等比数列
中，公比
，
且
和
的等比中项是2．

（1）求数列
的通项公式；

（2） 若
，判断数列
的前
项和
是否存在最大值，若存在，求出使
最大时
的值；若不存在，请说明理由。

18.（本小题满分12分）

在某次数学考试中，抽查了1000名学生的成绩，得到频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀。

（1）下表是这次抽查成绩的频数分布表，试求正整数
、
的值；

区间

[75，80）

[80，85）

[85，90）

[90，95）





人数

50

a

350

300

b



（2）现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成

绩进行分析，求抽取成绩为优秀的学生人数；

（3）在根据(2)抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加

座谈会，记其中成绩为优秀的人数为X，求X的分布列

与数学期望（即均值）。

19.（本小题满分12分）

如图1，直角梯形
中，
∥

,
,
是底边
上的一点，且
. 现将
沿
折起到
的位置，得到如图2所示的四棱锥
且
.

（1）求证：
平面
;

（2）若
是棱
的中点，求直线
与平面
所成角的正弦值.

20．（本小题满分12分）

已知顶点为原点O的抛物线
的焦点
与椭圆
的右焦点重合，
与
在第一和第四象限的交点分别为A、B．

(1) 若△AOB是边长为
的正三角形，求抛物线
的方程；

(2)若
，求椭圆
的离心率
；

(3) 点
为椭圆
上的任一点，若直线
、
分别与
轴交于点
和
，证探究：当
为常数时，
是否为定值？请证明你的结论．

21．（本小题满分12分）

已知
．

(1) 若
存在单调递减区间，求实数
的取值范围；

(2) 若
,求证：当
时，
恒成立；

(3) 设
，证明：
。

22．(几何证明选讲选做题)

如图，
边AB上的高，

（1）证明：A、B、P、Q四点共圆；

（2）若CQ=4，AQ=1，PF=
，求CB的长.

23．（坐标系与参数方程选做题）

已知曲线
的极坐标方程是
．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线
的参数方程是
是参数

（1）将曲线
的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）若直线
与曲线
相交于
、
两点，且
，求直线的倾斜角
的值．

24．(不等式选讲选做题)

已知函数

（1）解不等式
;

（2）设
，对任意
都有
，求
的取值范围.

江西玉山县仙岩中学2016届高三数学（理科）第1次模拟测试答案

一．选择题：共12小题，每小题5分，满分60分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

D

C

B

C

B

D

A

D

B

C

C





二．填空题：共4小题，每小题5分，满分20分．

13．20 14．
15.
16. 72

三．简答题：本大题共6小题，满分70分．其中22,23,24题为选做题.

17.解: （1）依题意：
，……………………………………………1分

又
，且公比
，

解得
。

∴
，……………………………………………3分

∴
，…………………………………………4分

∴
。……………………………………………5分

（2）∵
，

∴
。…………………………6分

∵当
时，
，当
时，
，当
时，
。……………8分

∴
。……………………………………10分

∴
有最大值，此时
或
。………………………………………12分

18．解：（1）80分至85分的人数为：
（人）；………1分

95分至100分的人数为：
（人）；………2分

（2）用分层抽样的方法从1000人中抽取40人，其中成绩为优秀的学生人数为：

（人）；………5分

（3）在抽取的40人中，85分以下的共有10人，85分及其以上的共有30人，从中抽取的2人中，成绩优秀的人数X的可能取值分别是：0人、1人、2人，其分布列如下表：

X

0

1

2



P(X)









 X的数学期望为：
………12分

19、解：（1）设
，则

∴
………2分

又

，

∴

∴
………4分

又
∩

∴
平面
………5分

（2）由（1）知：
平面
且
,分别以
为
轴、
轴、
轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图………6分

则

是
的中点 ∴
∴
………8分

设平面
的法向量为

由
即
令
得
………10分

设直线
与平面
所成角为
，则

∴ 直线
与平面
所成角的正弦值为
.………12分

20、解：（1）设椭圆的右焦点为
，依题意得抛物线的方程为
……1分

∵△
是边长为
的正三角形，

∴点A的坐标是
，，……………………2分

代入抛物线的方程
解得
，

故所求抛物线
的方程为
。………………………3分

（2）∵
, ∴ 点
的横坐标是

代入椭圆方程解得
，即点
的坐标是
，……………………4分

∵ 点
在抛物线
上，

∴
，………………5分

将
代入上式整理得：
，

即
，解得
。…………………………6分

∵
，故所求椭圆
的离心率
。…………………………7分

（3）证明：设
，代入椭圆方程得

，…………………………8分

而直线
的方程为
，……………9分

令
得
。……………………10分

在
中，以
代换
得
，…………………11分

∴

∴当