甘肃省张掖市天一中学2015年高三上学期

第一次质量检测数学(理)试卷

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

评卷人

得分















一、选择题：共12题每题5分共60分



1．若纯虚数满足是虚数单位)，则实数的值为

A.8

B.-8

C.2

D.-2



2．设集合，则

A.

B.

C.[0,1)

D.



3．已知直线与函数的图象依次交于三点，则

A.

B.

C.

D.



4．已知分别为双曲线的左、右焦点，点P是以双曲线的焦距为直径的圆与双曲线的一个交点，若面积的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是

A.

B.(1，]

C.

D.(1,2]



5．某中学安排语文、数学、英语各一名教师负责期末考试的一个考场的语文、数学、英语的监考工作，每场考试需要两名教师，则每科目的考试恰有同科目的教师监考的概率为

A.

B.

C.

D.



6．已知函数在同一坐标系(坐标轴的刻度是相同的)中画出其中两个函数在第一象限内(包括坐标轴)的图象，一定错误的是

A.

B.



C.

D.



7．已知成等比数列，且曲线的顶点坐标为，则

A.

B.

C.

D.



8．已知长方体，从一个顶点出发的三条棱长分别为1、1、2，顶点A、B、C、D在半球的底面内，顶点A1、B1、C1、D1在半球球面上，则此半球的体积是( ).

A.

B.或

C.

D.



9．在某次中国象棋比赛中，组委会运用如图所示的程序框图统计比赛的总局数及比赛双方的得分.比赛约定每局胜者得1分，负者得0分，平局不作统计.如果一方获胜，输入，另一方获胜，则输入 ，比赛进行满6局或一方分数高于对方2分者即结束，则图中第一、第二两个判断框分别填写的条件错误的是

A.

B.

C.

D.



10．已知有导函数，且，则有

A.

B.



C.

D.



11．已知数列 的前项和为，数列为等差数列，若的符号相反，则

A.

B.

C.

D.



12．已知关于的函数的定义域为D，存在区间的值域也是，当变化时，的最大值为

A.

B.

C.

D.



第II卷（非选择题）

评卷人

得分















二、填空题：共4题每题5分共20分



13．设变量满足，则的最大值为 .

14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .

15．已知O为锐角三角形ABC的外心，，则实数的值为 .

16．已知F为抛物线的焦点，AB为抛物线的过焦点的弦，C为抛物线的准线与对称轴的交点.若以AC为直径的圆恰过点B，则的值为 .

评卷人

得分















三、解答题：共8题每题12分共96分



17．已知平面向量，函数.

(1)将函数的图象向右平移个单位长度后得到，求函数的最小正周期以及对称轴方程；

当时，求函数的取值范围.

18．扣人心弦的巴西足球世界杯已落下了帷幕,德国战车再次举起大力神杯，某市足协为了解市民对该届世界杯的关注度，针对某种与世界杯有关的吉祥物的销售情况组织了一次随机调查，以下是某商店根据以往某种吉祥物的销售记录绘制的频率分布直方图，如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.

(1)估计日销售量的众数；

(2)求在未来连续天里，有连续天的日销售量都不低于个且另天的日销售量低于个的概率；

(3)用表示在未来天里日销售量不低于个的天数，求随机变量的分布列，期望及方差.

19．已知底面为矩形的四棱锥， ，分别为的中点，其中二面角的平面角的正切值为.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的大小.

20．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点为坐标原点，已知椭圆与曲线的交点分别为 (下上)，且两点满足.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过椭圆上异于其顶点的任一点，作的两条切线，切点分别为，若直线在轴、轴上的截距分别为，证明：为定值.

21．已知关于的函数，其中，其在点处的切线所对应的函数为 .

(1)已知函数的图象与直线无公共点，求实数的取值范围；

(2)已知，若对任意的，总有成立，求实数的取值范围.

22．如图，△ABC内接于圆O,AE平分交BC于点D，连接BE.

(1)求证：；

(2)若△ABC的面积S＝AD·AE，求证:.

23．已知直线的参数方程为 (t为参数)，曲线C的参数方程为 (为参数).

(1)若在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线的位置关系；

(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线的距离的最小值与最大值。

24．设函数.

(1)求不等式的解集；

(2)若不等式在时有解，求实数的取值范围.

参考答案

1.B

【解析】，由题意得，此时， ，故选B.

【备注】试题把对复数概念的理解和复数代数形式的运算作为考查的重点，体现了新课程对复数考查的要求.试题中特意设置了整式形式的问题情境，但考查的是复数的除法运算，以此来检验考生的观察能力和优化解题过程的能力.

复数的除法运算中，分母实数化是是非常重要的方法，掌握不好极易出现解题的错误.

在2010～2014年的课标版高考试卷中，每年的前3题总有一道复数试题，考查复数的基本概念和复数代数形式的运算.2010年考查的是复数的代数运算，问题情境是以分式形式呈现，2011年考查的是复数的代数运算及共轭复数，问题情境是以分式形式呈现，2012年考查的是复数的基本概念与代数运算，问题情境是以分式形式呈现，2013年考查的是复数的基本概念与代数运算，问题情境是以整式形式呈现，2014年考查的是复数的除法运算，问题情境是以分式形式呈现，可见每年的复数试题都是以复数为命题背景，问题情境以分式形式或整式形式呈现，因此本试卷命制了复数的概念与运算、问题情境是以整式形式呈现的试题作为第1题.

2.C

【解析】集合A的代表元素是自变量，表示的是函数的定义域；集合B的代表元素是函数值，表示的是函数的值域.A、B均为数集.

，则,故选C.

【备注】试题以考生熟悉的集合的描述法的知识呈现，体现面向全体考生、注重考查基础知识的特点，这对稳定考生的心态，让考生在后面的考题中正常地发挥起到良好的作用.

对集合属性的正确理解是解决本题的关键，集合A表示的是函数的定义域，集合B表示的是函数的值域.

在2010～2014年的课标版高考试卷中，集合试题一般都放在第1或2题的位置，主要考查集合的关系与运算.2010年考查的是集合与简单绝对值不等式和简单无理不等式的结合，2012年考查的是集合的列举法和描述法，2013年考查的是集合与一元二次不等式的结合，2014年考查的仍然是集合与一元二次不等式的结合，可见每年的集合试题都是以集合为命题背景，以集合与其它知识网络交汇点为命题载体，因此本试卷命制了集合与新概念运算相结合的试题作为第2题.

3.A

【解析】，由图象可知从点A到点C为函数的一个周期，则，故选A.

【备注】关于三角函数的考查，在2010～2014年的课标版高考试卷中，其中两年考查了小题，另两年考查了大题.2010年考查的是两个三角形的关联问题，2011年考查的是单个三角形中的最值问题，2012年作为大题进行了考查，2013年也作为大题进行了考查，2014年作为小题进行了考查，可见每年的解三角形试题都是以三角形为命题背景，以解三角形与其它知识网络交汇点为命题载体，因此本试卷命制了三角函数与三角恒等变换相结合的试题作为第3题.

试题面向全体考生，突出考查对三角函数知识的充分理解，体现了三角函数在解决实际问题中的作用，促使考生在学习、实践中形成和发展数学应用意识.另外试题设计了“直线与三角函数的图象相交”的巧妙背景，这就使得题目很有新意.

本题的易错点是能否发现直线与图象的三个交点与三角函数周期的关系.

4.C

【解析】由题意得为以点P为直角顶点的直角三角形，则故选C.

【备注】在2010～2014年的课标版高考试卷中，每年都要考查解析几何的两个小题，但在考查内容上不重复.2010年考查的两个小题是双曲线和直线与圆的位置关系，2011年考查的两个小题是双曲线和椭圆， 2012年考查的两个小题是椭圆和抛物线、等轴双曲线，2013年两个小题考查的是双曲线和椭圆，2014年两个小题考查的是双曲线与抛物线，可见每年的解析几何试题(小题)都是以直线、直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线为命题背景，问题情境以它们的方程或其几何性质或综合的形式呈现，因此本试卷命制了双曲线的试题作为第8题.

试题突出考查双曲线的定义、方程、性质，注重通性通法.另外试题构造了最小值情境，背景新颖，为考生灵活运用数学知识、思想方法解决实际问题提供了广阔的空间.

把“的最小值”问题通常转化为关于某个量的函数关系，然后利用函数性质或者不等式进行求解，这是本题的一个关键点，也是一个易错点.

5.B

【解析】每科目的考试有种排法，三个科目的排法有27种，每科目的考试有同科目教师监考的排法有2种，三个科目中每个科目均有同科教师监考的排法有8种，所求概率为，故选B.

【备注】在2010～2014年的课标版高考试卷中，几乎每两年或三年都要考查古典概型的试题.2010年没有考查，2011年考查的是几何概型，2013年考查的是古典概型， 2014年没有考查，因此本试卷命制了考查排列组合及古典概型的试题作为第5题.

试题的设计源于教材，高于教材，体现了新课程对排列组合考查的能力要求.

三个科目考试的安排方式的计算方法，显然适合于计数原理进行求解，如果理解不清，则极易出现失误.

6.C

【解析】对于A，指数函数的底数，幂函数的指数，符合题意；对于B，幂函数的指数，对数函数的底数，符合题意；对于D，指数函数的底数 ，幂函数的指数，符合题意；对于C，指数函数的底数，对数函数的图象与轴的交点位置是错误的，故选C.

【备注】在2010～2014年的课标版高考试卷中，每年都要考查函数与应用的试题.2010年考查的是对数函数、一次函数及参数的取值范围，2011年考查的是两个函数图象交点的横坐标之和，2012年考查的是与对数函数、幂函数有关的分式函数的图象，2013年考查的是对数函数、二次函数及参数的取值范围，可见每年的函数与应用试题都是以基本初等函数为命题背景，以函数图象、方程的根、函数的零点等为命题载体，因此本试卷命制了考查函数性质的试题作为第6题.

试题以指数函数、幂函数、对数函数为命题背景，考查函数的图象问题，考查考生的逻辑推理能力和灵活处理问题的能力.试题考查的内容重点突出，能够很好地达到考查目的.

本题是利用逻辑推理知识进行求解的典型例子，对某个选项的图象，首先确定一个图象是正确的，然后再推理另一个图象是否符合逻辑.

7.D

【解析】由，知(1，2)即为，又成等比数列，因此，公比，故选D.

【备注】在2010～2014年的课标版高考试卷中，对数列问题的考查相对固定，即要么考查一个关于等差数列和等比数列的解答题，2010年、2011年和2014年进行了考查，分值12分，要么考查等差数列和等比数列的两个小题，2012年和2013年进行了考查，分值10分，因此本试卷命制了等比数列与一元二次函数结合的试题作为第7题.

试题通过巧妙设计，将等比数列和与一元二次函数的顶点有机结合，全面考查考生对等比数列知识的灵活掌握和综合应用.

能否根据等比数列的相邻项求出等比数列的公比是解决本题的关键.

8.B

【解析】在长方体的底面ABCD上再叠合一个同样大小的长方体得到一个棱长为1、1、4或1、2、2的长方体，它内接于球，则球的直径，根据球的体积公式 得球的体积为或，则半球的体积为，故选B.

【备注】在2010～2014年的课标版高考试卷中，几乎每年都要考查关于几何体的空间结构的试题. 2010年考查的是根据球与三棱柱的组合体求球的表面积，2011年考查的是根据球与四棱锥的组合体求四棱锥的体积，2012年考查的是根据球与三棱锥的组合体求三棱锥的体积，2013年考查的是根据球与正方体的组合体求球的体积，2014年没有考查，可见每年的几何体的空间结构的试题都是以组合体为命题背景，以几何体的面积或体积为命题载体，因此本试卷命制了几何体的空间结构的试题作为第8题.

试题要求考生把半球与长方体的接切问题转化为球与长方体的接切问题，要求考生能根据条件作出正确的截面，将立体问题转化为平面问题，能正确分析出图形中的基本元素及其相互关系，这些都是立体几何教学的能力要求.另外，试题独特的设计也为不同层次的学生展现智力活动构筑了平台.

本题极易导致考生通过作出截面进行求解，从而加大计算难度.

9.D

【解析】由题意知都是自然数，所以对的条件，只要是都行，对的条件，只要是都行，故选D.

【备注】在2010～2014年的课标版高考试卷中，算法初步的试题是每年必考的.2010年考查的是数列的裂项求和，2011年考查的是连续自然数的积，2012年考查的是求解一组数中的最大者，2013年考查的是分段函数的值域，2014年考查的是迭代运算，可见每年的算法试题都是以程序框图为命题背景，以算法与其它知识网络交汇点为命题载体，因此本试卷命制了算法的试题作为第9题.

随着信息技术的发展，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养，算法已经成为考生必须具备的新“双基”.该题的设计面向全体考生，让考生在解决具体数学问题的过程中理解程序框图的基本逻辑结构和语句，理解算法思想并能在实践中自觉应用.试题准确把握了算法教学的能力要求.

本题中判断框中的条件可以有很多等价形式，如果判断不正确，容易进入误区.

10.A

【解析】设，则，为R上的增函数，有，即即，故选A.

【备注】在2010～2014年的课标版高考试卷中，几乎每年都要考查关于导数及其计算、定积分的一道小题.2010年考查的是函数图象上一点处的切线方程，2011年考查的是定积分问题， 2012年考查的是函数导数的应用，2013年没有考查，2014年考查的是三次函数的零点问题，可见每年的导数试题都是以函数为命题背景，以导数及其应用为命题载体，因此本试卷命制了导数应用的试题作为第10题.

试题以抽象函数为背景，设计了函数与其导函数的不等关系，全面考查导数的计算及导数方法在解决函数问题中的应用，考查函数的单调性，考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力和灵活处理问题的能力.本题考查的内容重点突出，能够很好地达到考查目的.

如果仅仅从入手，并且对该式子进行变形，这便陷入了思维误区，其实这个式子带来的信息不太多，应该结合选项的信息对式子进行构造，从而达到解题目的.

11.A

【解析】设数列的公差为，则，当时， ，当时上式也成立，即，数列是首项为，公差为的等差数列，再由题意得，即即，故选A.

【备注】在2010～2014年的课标版高考试卷中，对数列问题的考查相对固定，即要么考查一个关于等差数列和等比数列的解答题，2010年和2011年、2014年进行了考查，分值12分，要么考查等差数列和等比数列的两个小题，2012年和2013年进行了考查，分值10分，因此本试卷命制了等差数列的试题作为第11题.

试题以等差数列的概念为背景命制试题，巧妙地设计了数列为等差数列，可以推导出数列也为等差数列的情景，使考生的基础知识和思维能力、运算能力都得以充分体现.

对“数列为等差数列当且仅当数列为等差数列”这一充要条件理解不清，极易造成混乱.

12.A

【解析】依题意，注意到函数在上分别是增函数，结合对称性，不妨设，则函数在上是增函数，相应的值域是，则，即是关于的方程，即的两个根，有，由此解得:或，，当时，的最大值为，故选A.

【备注】在2010～2014年的课标版高考试卷中，几乎每年都要考查关于函数的概念及其性质的问题. 2011年考查的是函数的概念及性质问题， 2014年考查的是函数的性质，因此本试卷命制了关于函数的定义域、值域及最大值的试题作为第12题.

试题以可转化为反比例函数的函数为背景，巧妙构造了一元二次方程的根作为过渡条件，全面考查函数、方程及其综合应用，考查函数的单调性，考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力和灵活处理问题的能力.本题考查的内容重点突出，能够很好地达到考查目的.

怎样理解“存在区间的值域也是”，方向感并不明确，也容易进入误区，需要结合函数的单调性，才能把握住解题方向.

13.7

【解析】作出可行域如图阴影部分所示，可知目标函数在处取得最大值7.

【备注】在2010～2014年的课标版高考试卷中，每两年都要考查线性规划的小题.2010年和2013年都没有考查，2011年和2012年考查的是简单的线性规划问题，线性目标函数项系数2011年是正值，2012年是负值，2014年线性规划与命题结合起来进行了考查，因此本试卷命制了常规的线性规划试题作为第13题.

试题源于教材，但高于教材，侧重于知识的理解与应用，对中学不等式的教学有积极的引导作用.

本题属于常规题，但作图能力则是引起失误的一个重要因素.

14.

【解析】该几何体是由半个圆柱(该圆柱的底面圆半径是1，高是2)与一个三棱柱(该棱柱的底面面积等于，高是2)拼接而成，其体积等于，故填.

【备注】在2010～2014年的课标版高考试卷中，每年都要考查三视图的试题.2010年考查的是由三视图判断几何体的形状，2011年考查的是由三视图中的两个判断第三个，2012年考查的是根据三视图求几何体的体积，2013年考查的是根据三视图求几何体的体积，2014年考查的是根据三视图求多面体的最长的棱，可见每年的集合试题都是以三视图为命题背景，以几何体形状、面积、体积等为命题载体，因此本试卷命制了根据视图求几何体体积的试题作为第14题.

试题设计了组合体的三视图，为考生搭建了自主探究的活动平台，使不同基础和能力的考生得以发挥.试题关注在新课程教学中学生学习方式的多样性，有利于新课程理念在教学中的落实.

把几何体的三视图还原成原几何体，这不仅需要很好的空间想象能力，而且也要充分理解“长对正、高平齐、宽相等”，否则极易引起失误.

15.

【解析】通解：由得，,而，(其中R为三角形ABC外接圆的半径)，，故填.

优解：

设三角形ABC外接圆半径为R，由可得，两边平方得

由正弦定理得

【备注】在2010～2014年的课标版高考试卷中，其中四年都对平面向量进行了考查，2010年没有考查，2011年、2012年、2013年、2014连续进行了考查，每年的平面向量试题都是考查向量的概念及其几何意义、平面向量的数量积运算及其几何意义，考查考生运用平面向量的基本定理进行计算的能力和利用坐标计算数量积或用定义计算数量积的能力，考查数形结合的数学思想，因此本试卷命制了平面向量与解三角形相结合的试题作为第15题.

试题揭示了平面向量和三角形中的量的相互关系，使二者有机结合，检测考生将平面向量知识迁移到三角形情境中的能力，体现对知识的考查侧重于理解和应用的考查要求.

对于比较复杂的向量问